5_3合同_次同余式(PPT63页)
63页1、5.3合同合同一次同余式一次同余式引入引入看任意整数看任意整数a除以除以3所得的余数:所得的余数:003+0;103+1;-1(-1)3+2;203+2;-2(-1)3+1;可以看到余数有三种情况:可以看到余数有三种情况:0,1,2;对于对于-1和和2,它们除以它们除以3余数相同余数相同,两式相减则有:,两式相减则有:2-(-1)=(0-(-1)3+(2-2),则,则,3|(2-(-1)引入引入引入一种新的记法来对引入一种新的记法来对3|(2-(-1)进行表达:进行表达:2-1(mod3)则,还有下面的式子:则,还有下面的式子:3 0(mod3)0 3(mod3)4 1(mod3)1 4(mod3)5 2(mod3)2 5(mod3)5.3.1合同及其性质合同及其性质 定义定义.设设a,b为二整数,为二整数,m是任意非是任意非0整数。整数。若若m|a-b,则称,则称a合同于合同于b模模m。记为:记为:a b(modm)Note:(1)合同为整除的另一种表示法,故整除的性质合同为整除的另一种表示法,故整除的性质在此可用。在此可用。特别地,若特别地,若b=0,则,则a 0(modm)表示的
2、就是表示的就是m|a。(2)若若m|a,则,则-m|a。所以,若未指定。所以,若未指定m而一般地而一般地讨论模讨论模m合同时,总假定合同时,总假定m是是正整数正整数。5.3.1合同及其性质合同及其性质 (3)设设a=q1m+r1,0r1m;b=q2m+r2,0r2m。于是于是a-b=(q1-q2)m+(r1-r2)则则m|(a-b)iffm|(r1-r2),但但|r1-r2|1,则则d|c/d,dd|c,并且并且d|m/d,dd|m,得到,得到 dd为为c,m的公因数,则的公因数,则dd|d,即,即d|1,矛盾。,矛盾。合同的基本性质合同的基本性质性质性质12若若p为质数,为质数,c 0(modp),而而ac bc(modp),则则a b(modp)。证明:因为证明:因为p是质数,是质数,c 0(modp)就表示就表示p|c,即即c和和p互质,互质,(c,p)=1,因而性质因而性质12不过是性质不过是性质10的推论的推论(原来的整数模原来的整数模m换成了现在的质数模换成了现在的质数模p)。合同的基本性质合同的基本性质性质性质13设设p(x)是整系数多项式,是整系数多项式,x和和y是整数
3、变量,是整数变量,则由则由x y(modm)可得可得p(x)p(y)(modm)。证明:设证明:设p(x)=anxn+an-1xn-1+a1x1+a0,p(y)=anyn+an-1yn-1+a1y1+a0,由由x y(modm)和和性质性质8,xk yk(modm).由由性质性质7得得akxk akyk(modm).由由性质性质4得得anxn+an-1xn-1+a1x1+a0 anyn+an-1yn-1+a1y1+a0(modm).即即p(x)p(y)(modm)。例例.求能被求能被9整除的正整数的整除的正整数的数码特征数码特征。设设N=an10n+an-110n-1+a110+a0为一正整数,因为一正整数,因为为10 1(mod9),由性质由性质13得得N an1n+an-11n-1+a1+a0(mod9)即即。于是于是9|N当且仅当当且仅当9|5.3.2剩余类剩余类一次同余式一次同余式模模m合同既然是一种等价关系,就可以把所有合同既然是一种等价关系,就可以把所有整数按照模整数按照模m合同的关系分为等价类,每一个等合同的关系分为等价类,每一个等价类称为模价类称为模m的一个的一个剩余类
4、剩余类。例如,整数集合例如,整数集合Z,模,模3,得到:,得到:余数为余数为0:,-6,-3,0,3,6,余数为余数为1:,-5,-2,1,4,7,余数为余数为2:,-4,-1,2,5,8,5.3.2剩余类剩余类一次同余式一次同余式同一个剩余类中的数互相合同,不同的剩余类同一个剩余类中的数互相合同,不同的剩余类中的数不互相合同。中的数不互相合同。因为以因为以m去除任意整数,可能得到的余数恰有去除任意整数,可能得到的余数恰有0,1,m-1,这这m个数,所以个数,所以模模m共有共有m个个剩余类剩余类.5.3.2剩余类剩余类一次同余式一次同余式从模从模m每个剩余类中每个剩余类中任意任意取出取出一个数一个数作为代表,得作为代表,得到到m个数,比方个数,比方r1,r2,rm,称这,称这m个数作成一个个数作成一个完全完全剩余系剩余系。例例0,1,m-1便是这样一个完全剩余系,称为便是这样一个完全剩余系,称为模模m的非负最小完全剩余系。的非负最小完全剩余系。任意整数模任意整数模m恰好恰好合同于此完全剩余系中的一个数。合同于此完全剩余系中的一个数。例例模模3,三个数,三个数0,1,2作成一个完全剩余系
5、,作成一个完全剩余系,-1,0,1也作成一个完全剩余系。也作成一个完全剩余系。例例模模2,两个数,两个数0,1作成一个完全剩余系,作成一个完全剩余系,0代表所代表所有偶数,有偶数,1代表所有奇数代表所有奇数.同余式同余式有棋子若干枚,三个三个的数剩两个,问至有棋子若干枚,三个三个的数剩两个,问至少有多少个棋子?少有多少个棋子?答:由题意,棋子的个数减答:由题意,棋子的个数减2是是3的倍数,从而的倍数,从而有,有,(x-2)=3y,x0,用合同式表示为:,用合同式表示为:x2(mod3),从而棋子的个数可能是:,从而棋子的个数可能是:2,5,8,,都,都是是mod3合同合同2。同余式同余式含有整数变量的合同式,称为合同方程或同余含有整数变量的合同式,称为合同方程或同余式式。ax b(modm)这种形式的合同式称为一次同余这种形式的合同式称为一次同余式;类似地,式;类似地,a2x2+a1x b(modm)称为二次同余称为二次同余式。式。同余式同余式求解一次同余式求解一次同余式ax b(modm)实际上是解实际上是解ax-b=my这样的不定方程。这里讨论一次同余这样的不定方程。这里讨论一次同
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