精品解析：北京五十七中2020--2021学年高二上学期数学期中考试试题（解析版）

1、 北京五十七中20202021第一学期高二数学期中考试一选择题1. 已知点，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.【详解】由题设，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为，所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：.故选：B2. 方程表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【详解】，即，故圆心为，半径为故选3. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A. 与，都相交B. 与，都不相交C. 至少与，中的一条相交D. 至多与，中的一条相交【答案】C【解析】【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图所以至少与，中的一条相交.故选:C4. 向量，中，共面的三个向量是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】假设三向量共面，根据共面定理，得出向量的线性表示，列出方程组，求出方程组的解，即可判断这组向量是否共面【详解】对于

2、A，设、三向量共面，则=x+y，（1，1，0）=x（0，1，1）+y（1，0，1）=（y，x，x+y）；，此方程组无解，、三向量不共面；同理，C、D中三向量也不共面；对于B，设、三向量共面，则=x+y，（1、1、0）=x（0、1、1）+y（1、0、1）=（y、x、xy）；，此方程组有唯一的解，、三向量共面故选D【点睛】本题考查了判断空间向量是否共面的问题，属于基础题5. 由直线y=x+l上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为A. B. C. D. ；【答案】A【解析】【分析】作图，切线长最小就是圆心到直线上的点距离最小，据此即可求出切线方程.【详解】圆的标准方程为： ，圆心为（3，-2），半径为1；设直线上的点为A，切点为B，圆心为C，由图可知， ，要使最小，只要最小，过C（3，-2）做直线的垂线，这时由点到直线距离公式得，；故选：A.6. 已知、是三个不同的平面，且，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“”是“”的必要而不充

3、分条件.【详解】如下图所示，将平面、视为三棱柱的三个侧面，设，将、视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“”“”；另一方面，若，且，由面面平行的性质定理可得出.所以，“”“”，因此，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.7. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案.【详解】 可得:其圆心为根据点到直线距离公式可得到距离为: 设与直线距离是.根据平行线间距离公式可得:解得:或与直线距离是的直线有两条:和又圆心到距离:圆心到距离: 如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个. 圆与不相交,如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个, 圆只能与相交,与相离 .故选:B.【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法

4、,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8. 如图，角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角函数的定义，可求得点的坐标，再由向量的数量积的运算公式和两角差的余弦公式，即可求解【详解】根据题意角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则，则.故选：C9. 以下命题中，不正确的个数为（ ）“”是“，共线”的充要条件；若，则存在唯一的实数，使得；若，则；若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用不等式等号成立的条件判断即可；利用与任意向量共线，来判断是否正确；利用共面向量定理判断是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可【详解】解：对，向量、同向时，只满足充分性，不满足必要性，错误；对，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；错误；对，则，不能得到，故错误；对，用反证法，若不构成空间的一个基底；设，即，共面，为空间的一个基底，正确；对，错误故选：【点睛】本题借助考查命题

5、的真假判断，考查空间向量的共线向量定理、共面向量定理及向量的数量积公式，属于中档题10. 如图，在正方体中，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点D. 线段的四等分点，且靠近点【答案】B【解析】【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，的中点，则，设，由与共线，可得，所以，所以，其中，因为，所以，所以，即是动点到直线的距离，由空间两点间的距离公式可得，所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.二填空题11. 已知直线与直线垂直，=_【答案】1或-1【解析】【分析】由直线垂直可得

6、（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，解之即可【详解】依题意，l1l2，故（a+2）（a1）+（1a）（2a+3）=0，化简得a2=1，解得a=1或a=1故a的值为：1或1【点睛】本题考查直线垂直的充要条件l1l2A1A2B1B20.，属于基础题12. 已知直线和直线互相平行，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数满足的等式与不等式，由此可解得实数的值.【详解】由于直线和直线互相平行，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数值，考查计算能力，属于基础题.13. 如图，在四棱锥中，底面四边形的两组对边均不平行.在平面内不存在直线与平行；在平面内存在无数多条直线与平面平行；平面与平面的交线与底面不平行；上述命题中正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】利用反证法结合线面平行的性质可判断的正误；设平面平面，且在平面中有无数条直线与直线平行，即可判断的正误；利用反证法与线面平行的性质可判断的正误.【详解】对于命题，设在平面内存在直线与平行，则平面，平面平面，平面，与已知条件矛盾，故正确；对于命题，设平面平面，则平面，所以，在平面内存在无数

7、条直线与直线平行，这无数条直线与平面平行，故正确；对于命题，假设平面与平面的交线与底面平行，平面，平面，平面平面，同理可得，与已知条件矛盾，故正确.故答案为：.【点睛】本题主要考查线面平行的性质和判定的应用，考查空间想象能力与推理论证能力，属于中等题.14. 直线与曲线有且仅有一个公共点则b的取值范围是_【答案】或.【解析】【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.15. 如图，是三个边长为的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有个不同的点， ，则_【答案】36【解析】

8、【详解】=36【点睛】本题一个关键是拆分向量，另一个是，所以三解答题16. 已知函数()的最小正周期为.（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间为，；（2）.【解析】【分析】（1）将函数化成，利用周期求，利用函数性质求单调区间；（2）由（1）的结果只要求，即可求出的取值范围.【详解】（1）因为的最小正周期为，所以.所以.由，解得.所以函数的单调递增区间为，.（2）因为，所以，所以.所以函数在上的取值范围是.【点睛】本题考查三角恒等变换公式，三角函数的基本运算，及复合函数的性质，属于中档题.17. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式18. 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（1）线线垂直证明，一般需多次利用线面垂直判断与性质定理.可逆向分析：要证，而，因此需证平面，已有，只需证，而这需通过平面几何的知识进行证明（2）线面平行证明，一般利用线面平行判断定理，即利用线线平行给予证明，而线线平行往往结合平面几何的知识进行证明：本题就需利用相似证明（3）求二面角的余弦值，一般利用空间向量给予计算.先根据题意利用三直线相互垂直建立恰当的

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