北京五十七中2017-2018学年第一学期高二期中考试数学试卷

1、北京五十七中2017-2018第一学期高二数学期中考试班级_姓名_一选择（本题8道小题，每题5分，共40分）1、已知正四棱锥侧棱长为5，底面边长为6，则此的正四棱锥的表面积是（ ） A.48 B. C. 84 D.2、若直线与圆相切，则的值为（A） （B） （C） （D）3、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为（A）若则 （B）若则 （C）若，则 （D）若则4、由直线上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )A. B. C. D.5、已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是 （A） （B） （C） （D）6、在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A B且 C且 D且7、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是A、 （4，6） B、4，6） C、（4，6 D、4，6B A D C. P8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条

2、件的点P有（ ）（A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个二填空题(共6道小题，每题5分，共30分)9、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于_.10、已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_.11.某三棱锥的三视图如图所示，正（主）视图俯视图则该三棱锥的体积为等于_.12 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_.13、在四边形中，. 若，则=_. 14、正方体的棱长为，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高.三解答题（共6个小题，80分）15、（本小题共13分）B1A1C1BCAMN三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积16（本小题满分14分）FADCBE 在如图所示的几何体中， 四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面 .（）求证：平面；（）若二面角为直二面角，（i）求直线与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由17、已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两

3、段圆弧，其弧长的比为3：1；圆心到直线l：x2y=0的距离为，求该圆的方程（13分）18（本小题满分14分）A B A1 B1D CED1 C1如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，.（）求证：；（）求证：/ 平面；（）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.19（本小题满分13分）如图,已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点，是中点. （）当与垂直时，求证：过圆心；（）当时，求直线的方程；（）设,试问是否为定值,若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由.20（本小题13分）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值北京五十七中2017-2018第一学期高二数学期中考试试题答案选择答案：1-8 CBDA CDAC填空答案：9、10、11、12、13、 214、解答题答案：15、（）证明： 连结，是，的中点又平面，平面 -4分（）三棱柱中，侧棱与底面垂直，四边形是正方形连结，又中的中点，与相交于点，平面 -9分（）由（）知是三棱锥的高在直角中

4、，又 -13分16（本小题满分14分）FADCBEOG证明：（）连结，设，因为四边形为正方形，所以为中点设为的中点，连结，则，且由已知，且，所以所以四边形为平行四边形所以，即因为平面，平面，所以/平面 5分xzXyzXzzXPFADCBE（）由已知，所以因为二面角为直二面角，所以平面平面所以平面，所以四边形为正方形，所以所以两两垂直以为原点，分别为轴建立空间直 角坐标系（如图）因为，所以，所以（i）设平面的一个法向量为， 由 得即 取，得设直线与平面所成角为，则，因为，所以即直线与平面所成角的大小为 9分（ii）假设棱上存在点，使得平面 设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以 又，所以解得 因为，所以上存在点，使得平面，且（另解）假设棱上存在点，使得平面 设，则设，则，因为，所以所以，所以点坐标为因为，所以设平面的一个法向量为，则 由，得 取，得由，即，可得 解得因为，所以上存在点，使得平面，且 14分17、设圆的方程(x-a)2+(y-b)2=R2 (R0) 1分令x=0,得y=b(R2-a2),由得 3分b+(R2-a2)-b-(R2-a2)=2所以R2-a2=1 .

5、(1) 5分 令y=0,得x=a(R2-b2),在x轴截得的弦长为2(R2-b2),由得在x轴所截得的弦对应的圆心角为90度则2R2=2(R2-b2)2 7分 得R2=2b2,.(2) 9分由得|a-2b|/5=5/5即|a-2b|=1.(3) 11分解方程组得a=1,b=1或a=-1,b=-1,R2=2 12分所以圆的方程(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2 13分18（本小题满分14分）（本小题满分14分）（）证明：因为底面和侧面是矩形，所以 ，又因为 ，所以 平面， 2分因为 平面，所以 . 4分（）证明：因为 ，所以四边形是平行四边形. 连接交于点，连接，则为的中点. 在中，因为，所以 . 6分A B A1 B1D CED1 C1zyxFG又因为 平面，平面，所以 平面. 8分（）解：由（）可知， 又因为 ， 所以 平面. 9分设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴如图建立空间直角坐标系，设，则.设平面法向量为，因为 ，由 得令，得. 11分设平面法向量为，因为 ，由 得令，得. 12分由平面与平面所成的锐二面角的大小为，得 ， 13分解得. 14分19. （本小题满分13分）解:（）由已知 ,故,所以直线的方程为. 将圆心代入方程易知过圆心 . 3分 () 当直线与轴垂直时,易知符合题意; 4分当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,所以由,解得.故直线的方程为或. 8分 ()当与轴垂直时,易得,又则,故. 即. 10分当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得.则,即,.又由得,则.综上,的值为定值,且. 14分另解一:连结,延长交于点,由()知.又于,故.于是有.由得故 14分另解二:连结并延长交直线于点,连结由()知又,所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得. 14分20（本小题13分）已知数列满足：，且记集

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