高中数学圆锥曲线解题技巧总结

1、解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r 2=2a。第二定义中， r1=ed1 r2=ed2 。（ 2）双曲线有两种定义。 第一定义中， r1r2 2a ，当 r1r2 时，注意 r2 的最小值为 c-a：第二定义中， r1=ed1，22半径与“点到准线距离”互相转化。r =ed ，尤其应注意第二定义的应用，常常将（ 3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的， 圆锥曲线的方程是二次的， 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x ,y),B(x ,y),弦 AB 中点为 M(x,y)，将点 A 、

2、 B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关112200系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（ 1） x2y21(ab0) 与直线相交于A 、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 x0y0k0 。a2b2a2b 2（ 2）x2y21(a0,bx0y0k0a2b20) 与直线 l 相交于 A 、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)则有2b2a（ 3） y2=2px （ p0）与直线 l 相交于 A 、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例题 】例 1、 (1) 抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小 ,则点 P 的坐标为 _(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则 PHPF ，因而易发现，A当 A 、HQP、 F 三点共线时，距离和最小。PB（ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B 、Q、R 三点共线时，F距离

3、和最小。解：（ 1）（ 2， 2 ）连 PF，当 A 、P、F 三点共线时， APPHAPPF 最小，此时 AF 的方程为 y4 20 ( x 1) 即31y=2 2 (x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为(1 , 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）21（ 2）（ 1 ,1）4过 Q 作 QR l 交于 R，当 B 、 Q、 R 三点共线时，BQQFBQQR 最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入 y2=4x 得 x= 1 ， Q( 1 ,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、 F 是椭圆 x 2y 21 的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点。43（ 1） PAPF 的最小值为yAPH（ 2） PA2 PF 的最小值为F0 Fx分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF 或准线作出来考虑问题。解：（ 1） 4- 5设另一焦点为F ，则 F(-1,0) 连 A F ,P FPAPFPA 2aPF 2a( PFPA ) 2aAF45当 P 是 F A

4、 的延长线与椭圆的交点时, PAPF 取得最小值为 4-5 。（ 2） 3作出右准线 l ，作 PH l 交于 H ，因 a2=4 ， b2=3，c2=1， a=2， c=1， e=1 ，2 PF1 PH ,即2 PFPH2 PA2 PFPAPH当 A 、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a 24 13xAc例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点y共线（如图中的A 、 M 、C 共线， B、 D、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的C“半径MCMD ）。等于半径”（如图中的MD解：如图， MCMD ，A 0 B5x ACMAMBDB即6 MAMB 2 MAMB8（ *）2点 M 的轨迹为椭圆，x2y22a=8， a=4， c=1， b2=15 轨迹方程为11615点评：得到方程（* ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出( x1) 2y 2(x1) 2y 24 ，再移项，平方，相当于

5、将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3 sinA, 求点 A 的轨迹方程。5分析： 由于 sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R（ R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。解： sinC-sinB=3sinA2RsinC-2RsinB=3 2RsinA55 AB AC3 BC5即 AB AC 6（ * ）点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6， 2c=10 a=3， c=5， b=4x 2y2所求轨迹方程为1 （ x3）916点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（* ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x 2 上移动， AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析：（ 1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x122，X220 0)用弦长公式及中点)， B(x) ，又设 AB 中点为 M(xy公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（ 2）M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(x 1 ，x12)， B(x2 ，x2 2)， AB中点 M(x 0， y0)( x1x2 )2( x12x22 ) 29 则 x1x22x0x12x222 y0由得 (x1-x2)21+(x 1+x 2)2=9即 (x 1 22-4x12122+x)x 1+(x+x) =9由、得 2x 12020=4x02-2y0x =(2x ) -2y代入得(2x 0 )2-(8x 02-4y0) 1+(2x 0 )2=93 4 y0 4x029 2 ，14x04y0 4x029(4x021)914x024x021 2 9 1 5,y054当 4x02+1=3即 x02时， ( y0 ) min5此时 M (2 , 5 )2424法二： 如图，2 MM 2AA2BB2AF BFAB3313y MM 2， 即MM 1，B242M5A， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 MM 1A10 MB1x41A2MB252

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