2021辽宁考研数学三真题及答案
12页1、2021辽宁考研数学三真题及答案一、选择题(本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求,把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)12xt 32(1)当 x 0 时, 0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C. x2t 3x67x2t 37【详解】因为当 x 0 时, 0 (e -1)dt确答案为 C.= 2x(e-1) : x,所以0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小,正 ex - 1(2)函数 f (x)= x, x 0 ,在 x = 0 处1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ,故 f (x) 在 x = 0 处连续;x0x0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x11因为lim= lim=lim=,故 f (0) =,正确答案为 D.x0x - 0x0x
2、- 0x0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a 0) 有两个零点,则 b 的取值范围是a(A) (e, +) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 , f (x) = a - b ,令 f (x) = 0 有驻点 x = b , f b = a b - b ln b 1,可得 b e ,正确答案为 A. aa aaaa(4)设函数 f (x, y) 可微, f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 , f (x, x2 ) = 2x2 ln x ,则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f (x +1, ex ) + ex f (x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f (x, x2 ) + 2xf (x, x2 ) = 4x ln x + 2xx = 0x = 1分别将 y = 0 , y = 1 带入
3、式有f1(1,1) + f2(1,1) = 1 , f1(1,1) + 2 f2(1,1) = 2联立可得 f1(1,1) = 0 , f2(1,1) = 1 , df (1,1) = f1(1,1)dx + f2(1,1)dy = dy ,故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3 011 所以 A = 121 ,故特征多项式为 110 l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零,故特征值为-1, 3 , 0 ,故该二次型的正惯性指数为 1,负惯性指数为 1.故应选 B.aT 1 1 (6) 设 A = (
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