2021辽宁考研数学三真题及答案

2021辽宁考研数学三真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）12xt 32(1)当 x ® 0 时， ò0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.é x2t 3ù¢x67x2t 37【详解】因为当 x ® 0 时， êëò0 (e -1)dtúû确答案为 C.= 2x(e-1) : x，所以ò0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小，正ì ex - 1í(2)函数 f (x)= ïx, x ¹ 0 ,在 x = 0 处îï1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x®0x®0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x1¢1因为lim= lim=lim=，故 f (0) =，正确答案为 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a > 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是a(A) (e, +¥) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +¥) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 ， f ¢(x) = a - b ，令 f ¢(x) = 0 有驻点 x = b ， f æ b ö = a × b - b × ln b < 0 ，x从而ln b > 1，可得 b > e ，正确答案为 A.ç ÷aaè øaaaa(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2xìx = 0ìx = 1分别将í y = 0 ， í y = 1 带入式有îîf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2联立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3æ 011 öç÷所以 A = ç 121 ÷ ，故特征多项式为èøç 110 ÷l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.æaT öæ1öç 1 ÷ç ÷(6) 设 A = (a,a ,a,a ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = aT ， b= 1 ， k 表示任意常数，1234ç 2 ÷ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 øè ø则线性方程组 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因为 A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一组标准正交向量æaT öç 1 ÷组， 则 r(B) = 3 ， 又 Ba = a T a = 0 ， 所以齐次线性方程组 Bx = 0 的通解为 ka . 而4ç 2 ÷ 44çaT ÷è 3 øæaT öæ1öç 1 ÷ç ÷B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b ， 故 线 性 方 程 组Bx = b的 通 解123ç 2 ÷123ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 øè øx = a1 +a2 +a3 + ka4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D.æ 10-1ö(7) 已知矩阵 A = ç 2-11 ÷ ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使 PAQ 为对角ç÷ç -12-5÷èø矩阵，则 P ， Q 可以分别取æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 100 ö(A) ç 010 ÷ ， ç 013÷ .(B) ç 2-10 ÷ ， ç 010 ÷ .ç÷èøç 001 ÷ç÷èøç 001÷ç÷èøç -321 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 12-3ö(C) ç 2-10 ÷ ， ç 013÷ .(D) ç 010 ÷ ， ç 0-12 ÷ .ç÷èøç -321 ÷【答案】C.【解析】ç÷èøç 001÷ç÷èøç 131 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 10-1100 öæ 10-1100 öæ 10-1100 ö( A, E) = ç 2-11010 ÷ ® ç 0-13-210 ÷ ® ç 01-32-10 ÷ç÷ç÷ç÷ç -12-5001 ÷ç 02-6101 ÷ç 000-321 ÷èøèøèøæ 100 ö= (F , P) ,则 P = ç 2-10 ÷ ;æ 10ç 01ç÷èøç -321 ÷-1öæ 100 ö-3÷ç 010 ÷ç÷ç÷æ 101öæ F öç 000 ÷ ® ç 000 ÷ = æ ö ，则Q = ç 013÷ .故应选 C.èøç÷ç÷Qèøç E ÷ç 100 ÷ç 101 ÷ç÷ç 010 ÷ç 013÷èøèøç 001 ÷ç 001 ÷ç÷èøç 001÷(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 < P(B) < 1，下列命题中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，则 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，则 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，则 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，则 P( A) > P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【详解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.(9)设( X ,Y ) ，( X,Y ) ，L，( X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的简单随机样本，令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 ， X = n å X i ， Y = n åYi ，q= X - Y 则i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q， D(q) =.ns +s22(C) E(q) ¹q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(q) ¹q， D(q) =.n【答案】 B【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正确答案为 B.n1-q1+q(10) 设总体 X 的概率分布为 PX = 1 =， PX = 2 = PX = 3 =，利用来自总体24的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得q的最大似然估计值为(A) 1 .3(B) .(C) 1 .(D) 5 .4822【答案】 A .) (