建筑力学第3章平面力系的合成与平衡

第二章第二章建筑力学建筑力学第二第二节力矩、力偶及平面力偶系力矩、力偶及平面力偶系的的 合成与平衡合成与平衡第一第一节平面平面汇交力系交力系平面力系的合成与平衡平面力系的合成与平衡第三第三节平面任意力系的合成与平衡平面任意力系的合成与平衡第一第一节 平面平面汇交力系交力系设一一刚体受到平面体受到平面汇交力系交力系F1，F2，F3，F4的作用，各力的作用的作用，各力的作用线汇交于点交于点A，如，如图所示。所示。为合成此力系，可根据力的平行四合成此力系，可根据力的平行四边形公理，两两逐步合成各力，最后求得一形公理，两两逐步合成各力，最后求得一个通个通过汇交点交点A的合力的合力FR。一、平面一、平面汇交力系合成与平衡的几何法交力系合成与平衡的几何法在平面力系中，当各力作用在平面力系中，当各力作用线汇交于一点交于一点时称称为平面平面汇交力系。交力系。1平面平面汇交力系合成的几何法交力系合成的几何法总之，平面之，平面汇交力系合成的交力系合成的结果果为一合力，合力的大小和方向等于各分力一合力，合力的大小和方向等于各分力的矢量和，合力的作用的矢量和，合力的作用线通通过汇交点。交点。设平面平面汇交力系包含交力系包含n个力，以个力，以FR表示表示它它们的合力矢，的合力矢，则有有2平面平面汇交力系平衡的几何条件交力系平衡的几何条件由于平面由于平面汇交力系可用其合力来代替，所以平面交力系可用其合力来代替，所以平面汇交力系平衡的必要交力系平衡的必要和充分条件是和充分条件是该力系的合力等于零，即力系的合力等于零，即在平衡力系下，力多在平衡力系下，力多边形中最后一个力的形中最后一个力的终点与第一个力的起点重合，点与第一个力的起点重合，此此时的力多的力多边形称形称为封封闭的力多的力多边形。因此平面形。因此平面汇交力系平衡的几何条件交力系平衡的几何条件可表述可表述为力多力多边形自行封形自行封闭。求解平面求解平面汇交力系的平衡交力系的平衡问题时可用可用图解法解法，即按比例先画出封，即按比例先画出封闭的的力多力多边形，然后用直尺和量角器在形，然后用直尺和量角器在图上量得所要求的未知量，也可根据上量得所要求的未知量，也可根据图形的几何关系，用三角公式形的几何关系，用三角公式计算出未知量，算出未知量，这种解种解题方法称方法称为几何法。几何法。二、平面二、平面汇交力系合成与平衡的解析法交力系合成与平衡的解析法1力在坐力在坐标轴上的投影上的投影投影正投影正负号的号的规定：当从力始端的投定：当从力始端的投影影a到到终端的端的投影投影b的方向与坐的方向与坐标轴的正向的正向一致一致时，该投影投影取正取正值；反之，取反之，取负值。当当力与坐力与坐标轴垂直垂直时，力在，力在该轴上的上的投影投影为零零；当当力与坐力与坐标轴平行平行时，力在，力在该轴上的上的投影的投影的绝对值等于等于该力的大小力的大小。2合力投影定理合力投影定理合力投影定理确定了合力的投影与分力的投影之合力投影定理确定了合力的投影与分力的投影之间的关系。的关系。由由图可得可得而而，因此得，因此得上式可推广到任意多个上式可推广到任意多个汇交力的情况，即交力的情况，即合力在任一坐合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数上投影的代数和，和，这就是合力投影定理就是合力投影定理。3用解析法求平面用解析法求平面汇交力系的合力公式交力系的合力公式平面平面汇交力系平衡的必要和充分条件是交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。力系的合力等于零。结合合上上式的第一式有式的第一式有4平面平面汇交力系平衡的解析条件交力系平衡的解析条件于是，平面于是，平面汇交力系平衡的解析条件是各力在两个坐交力系平衡的解析条件是各力在两个坐标轴上投影上投影的代数和分的代数和分别等于零。等于零。此此式称式称为平面平面汇交力系的平衡方程交力系的平衡方程。这是两个是两个独立的方程，可以求解两个未知量。独立的方程，可以求解两个未知量。实例分析例分析（a）（b）各力在各力在x，y轴上的投影上的投影为F1的投影的投影为F2的投影的投影为F3的投影的投影为F4的投影的投影为F5的投影的投影为F6的投影的投影为支座反力的支座反力的实际方向，通常在答案后用加括号的箭方向，通常在答案后用加括号的箭头表示。表示。由由得得第二第二节 力矩、力偶及平面力偶系的合成与平衡力矩、力偶及平面力偶系的合成与平衡一、基本概念一、基本概念力矩（力矩（moment of force）是）是度量力度量力对刚体体转动效效应的物理量。力的物理量。力对刚体的作用效体的作用效应使使刚体的运体的运动状状态发生改生改变（包括移（包括移动与与转动），其中力），其中力对刚体的移体的移动效效应用力矢来度量；而力用力矢来度量；而力对刚体的体的转动效效应可用力可用力对点的矩点的矩（简称力矩）来度量。称力矩）来度量。力力对点的矩是一个代数量，它的点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘等于力的大小与力臂的乘积，它，它的正的正负可按下列方法可按下列方法规定：力使物体定：力使物体绕矩心逆矩心逆时针转向向时为正，反之正，反之为负。2合力矩定理合力矩定理平面平面汇交力系的合力交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。同一点的力矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理，用公式表示就是平面力系的合力矩定理，用公式表示为3力偶和力偶矩力偶和力偶矩在生活和生在生活和生产实践中，汽践中，汽车司机用双手司机用双手转动驾驶盘（如如图）、人）、人们用两手指用两手指拧开瓶盖和旋开瓶盖和旋转钥匙开匙开锁等，在等，在驾驶盘、瓶盖和、瓶盖和钥匙等物体上，匙等物体上，都作用了成都作用了成对的等的等值、反向、不共、反向、不共线的平行力，的平行力，这两个等两个等值、反向、不、反向、不共共线的平行力不能平衡，会使物体的平行力不能平衡，会使物体转动，这就是力偶的作用。就是力偶的作用。二、力偶的基本性二、力偶的基本性质 力偶的等效性。力偶的等效性。在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，在同一平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。两力偶彼此等效。由此，得出两个推由此，得出两个推论：【推【推论1】力偶可以在其作用平面内任意移力偶可以在其作用平面内任意移转，而不改，而不改变它它对刚体的作用效果。体的作用效果。【推【推论2】只要保持力偶矩的大小和力偶的只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不向不变，可同，可同时改改变力偶中力的大小和力偶臂。力偶中力的大小和力偶臂。由此可由此可见，力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量，力偶矩是平面，力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量，力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。常用力偶作用的唯一度量。常用图所示的符号表示力偶，所示的符号表示力偶，M为力偶矩。力偶矩。力偶无合力。力偶无合力。由于力偶中的两个力大小相等，方向相反，作用由于力偶中的两个力大小相等，方向相反，作用线平行，因此平行，因此说力偶无合力。由投影的概念可知，力偶力偶无合力。由投影的概念可知，力偶对任一任一轴的投影都等于零，而的投影都等于零，而且力偶的作用效且力偶的作用效应是使物体是使物体转动，它与一个力的作用效，它与一个力的作用效应是不能等效是不能等效的。因而力偶不能和一个力平衡，力偶只能和力偶平衡。的。因而力偶不能和一个力平衡，力偶只能和力偶平衡。力偶力偶对点之矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。点之矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。三、平面力偶系的合成三、平面力偶系的合成在物体的某一平面内同在物体的某一平面内同时作用两个或两个以上的力偶作用两个或两个以上的力偶时，这群力偶群力偶就称就称为平面力偶系。平面力偶系可以合成平面力偶系。平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和（可用力偶的等效性各分力偶矩的代数和（可用力偶的等效性证明），即明），即四、平面力偶系的平衡条件四、平面力偶系的平衡条件由平面力偶系合成由平面力偶系合成结果可知，力偶系平衡果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零。，其合力偶矩等于零。因此，平面力偶系平衡的充要条件是力偶系中所有各力偶矩的代数因此，平面力偶系平衡的充要条件是力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即和等于零，即上上式又称式又称为平面力偶系的平衡方程。平面力偶系的平衡方程。对于平面力偶系的平衡于平面力偶系的平衡问题，利用利用上上式可以求解一个未知量。式可以求解一个未知量。实例分析例分析（a）（b）第三第三节 平面任意力系的合成与平衡平面任意力系的合成与平衡一、平面一般力系的一、平面一般力系的简化化如如图（a）所示，三角形屋架的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，）所示，三角形屋架的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种种结构称构称为平面平面结构。在平面构。在平面结构上作用的各力，一般都在同一平面内，构上作用的各力，一般都在同一平面内，组成平面一般力系。如成平面一般力系。如图（b）所示，三角形屋架受到屋面）所示，三角形屋架受到屋面传来的来的竖向荷向荷载、风荷荷载 以及两端支座反力以及两端支座反力，这些力些力组成平面一般力系。成平面一般力系。（a）（b）平面一般力系是平面一般力系是指各力的作用指各力的作用线在同一平面内但不全交于一点，也不在同一平面内但不全交于一点，也不全互相平行的力系全互相平行的力系。在工程在工程实际中，中，还有些有些结构本身并不是平面构本身并不是平面结构，而且所受的力也不构，而且所受的力也不是分布在某一个平面内，但是由于是分布在某一个平面内，但是由于结构本身有一个构本身有一个对称平面，且作用于称平面，且作用于结构上的力也构上的力也对称于称于该面分布，面分布，则作用于作用于该结构上的力系也可构上的力系也可简化化为在此在此对称平面内的平面一般力系。称平面内的平面一般力系。如如图所示，沿直所示，沿直线行行驶的汽的汽车受到重力受到重力FW、空气阻力、空气阻力F以及地面以及地面对前后前后轮的的约束反力的合力束反力的合力FRA，FRB，都可，都可简化到汽化到汽车的的对称面内，称面内，组成平面一般成平面一般力系。力系。1平面一般力系向作用面内任一点平面一般力系向作用面内任一点简化化平面一般力系向一点平面一般力系向一点简化是一种化是一种较为简便并具有普遍性的力系便并具有普遍性的力系简化化方法。此方法的理方法。此方法的理论基基础是力的平移定理。是力的平移定理。（1）力的平移定理）力的平移定理作用于作用于刚体上某点的力可以平行移到此体上某点的力可以平行移到此刚体上的任一点，但必体上的任一点，但必须附附加一个力偶，加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩等于原力个附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的矩新作用点的矩，这就是就是力的平移定理。力的平移定理。（a）（b）（c）（2）主矢和主矩）主矢和主矩（a）（b）平面一般力系向作用面内任一点平面一般力系向作用面内任一点简化的化的结果，是一个力和力偶。果，是一个力和力偶。这个力作用在个力作用在简化中心，它的矢量称化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系的主矢，并等于这个力个力系中各力的矢量和；系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称个力偶的力偶矩称为原力系原力系对简化中心的主矩，化中心的主矩，并等于原力系中各力并等于原力系中各力对简化中心力矩的代数和。化中心力矩的代数和。现应用平面一般力系的用平面一般力系的简化理化理论，对固定端的支座反力固定端的支座反力进行分析。工行分析。工程程实际中的固定端支座，也称中的固定端支座，也称为插入端，是指插入端，是指该支座能限制物体沿任一方支座能限制物体沿任一方向的移向的移动和和转动。（a）（b）（c）（d）2平面力系的合力矩定理平面力系的合力矩定理而而所以所以于是可得平面力系的合力矩定理：平面一般力系的合力于是可得平面力系的合力矩定理：平面一般力系的合力对作用作用面内任一点的矩，等于力系中各力面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点的矩的代数和。同一点的矩的代数和。3平面一般力系的平衡条件平面一般力系的平衡条件