知识点20二次函数几何方面的应用2018--2

二、填空题1. （2018浙江湖州，14，4）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx（a0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线yax2（a0）交于点B若四边形ABOC是正方形，则b的值是 第15题图ABOCxy【答案】2【解析】由抛物线ya2+bx可知，点C的横坐标为，纵坐标为四边形ABOC是正方形，b2故填-2.【知识点】抛物线的顶点与对称轴，正方形的对角线三、解答题1. （2018山东滨州，26，14分）如图，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B（1）当x2时，求P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到_的距离等于到_的距离的所有点的集合（4）当P的半径为1时，若P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧请利用图，求cosAPD的大小第26题图 第26题图【思路分析】本题是涉及新定义的二次函数综合题，解答关键是抓住P到A点和P到x轴距离相等，先作垂直，“化斜为直”，然后利用点的坐标及勾股定理解题（1）通过作垂线构造RtAHP，根据勾股定理构造关于r的方程，通过解方程求出半径；（2）类比（1）构造RtAHP，结合勾股定理得出y与x的等式，再整理为关于y的函数的形式，进而判断函数图形的形状；（3）根据函数图象，结合集合定义的特征，得出结论；（4）利用P的半径为1，得出P点坐标，而P点恰好为二次函数的顶点，过点D作DHAP于H，构造RtPDH，然后将D点纵坐标用m来表示，进而表示出DH，HP，利用勾股定理得出关于m的方程，整体求出（m1）的值，再利用锐角三角函数的定义，用将三角函数值转化为（m1）的值即可【解题过程】（1）如图，过A作AMx轴于M，过P作PHAM于H，连接PA、PB，则PBx轴于点B，PAPBMHy A（1，2），OM1，AM2P横坐标为2，OB2PHOBOM211，AHAMPB2y在RtAHP中，AH2PH2AP2，(2y)212y2y.答：当x2时，求P的半径等于. 第26题答案图 第26题答案图（2）如图，过A作AMx轴于M，过P作PHAM于H连接PA、PB，则PBx轴于点B，PA=PBMHyA（1，2），AM2，OM1P（x，y），OBx，PBHMyPHx1，AH2y在RtAHP中，AHHPAP，（2y）（x1）y44yyx2x1y4yx2x5.yxx.（3）根据集合的定义可知：点A（1，2），x轴（4）如图，半径为1，即y1，代入yxx求得x1，即圆心P（1,1），又可知P（1,1）即为函数yxx的顶点，故作出如下图。则D（m，），过D作DHAP于H，则DHm1，HP1（m1），PD1，则有（m1）（m1）1，令（m1）t，则上式可替换为t（t）1，解得t48，cosAPD（48）2.第26题答案图【知识点】勾股定理、二次函数、圆、一元二次方程、三角函数2. （2018四川泸州，25题，12分） 如图11，已知二次函数的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m，0) (0m4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D.（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DFAB于点F，设ACE，DEF的面积分别为，若，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且DEGH周长取最大值时，求点G的坐标. 第25题图【思路分析】（1）待定系数法；（2）由点C坐标结合直线和抛物线的解析式表示出点D和点E的坐标，利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出有关线段的长度比，进而求解；（3）将周长表示为有关m的二次函数，按点G的位置分类讨论，进而讨论二次函数最值，得出m的值【解题过程】（1）二次函数的图象经过点A(4，0)，所以带入解得a=，二次函数解析式为，令x=0，得y=3，则B（0,3），设直线AB的表达式为y=kx+b，将A(4，0)，B（0,3）带入，可解得k=，b=3，所以直线AB的解析式为：（2）因为DCx轴，C（m,0），所以D(m,)，E(m,)，因为A(4，0)，B（0,3），所以OA=4，OB=3，AB=5，所以cosCAE=，AC=4-m，AE=5-m，因为EFDECA，所以AE=2DE，即5-m=，解得m1=，m2=4（舍去）（3）DEGH的周长=2(DE+EG)，当DE确定时，点G与点B或点A重合时，EG取得最大值，也就是平行四边形周长最大：当点G与点A重合时，DE+EG=DE+AE=，最大值为；当点G与点B重合时，DE+EG=DE+BE=，最大值为，因为，所以点G与点B重合，此时m=【知识点】待定系数法，相似三角形，二次函数最值，平行四边形3. （2018四川绵阳，25，14分） 如图，已知抛物线y=ax2+bx（a0）过点A（，-3）和点B（，0）.过点A作直线ACx轴，交y轴于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得SAOC=SAOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】（1）将点A和点B的坐标代入y=ax2+bx中，解出a和b的值即可；（2）首先根据题意可得出点C的坐标为（0，-3），设P（x，y），则PD=y+3，AD=x-，然后分OACPAD和OACAPD两种情况进行讨论，得出结果；（3）首先求出AOC的面积，进而得出AOQ的面积，然后根据点A和点B的坐标得出点Q的位置.【解题过程】解：（1）根据题意可得，解答，所以抛物线的解析式为.（2）根据题意可得点C的坐标为（0，-3），则OC=3，AC=， 设P（x，y），则PD=y+3，AD=x-.若OACPAD，则，即，整理得：x2-5x+12=0，解得：x=4或（舍去）.=6故P（4，6）；若OACAPD，则，即，整理得：3x2-11x+18+6=0，此时方程无解.（3）OC=3，AC=，SAOC=.SAOC=SAOQ，SAOQ=.OB=3，点A到x轴的距离d=3，SAOB=，故存在点Q，点Q与点B重合，即点Q的坐标为（，0）【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，三角形的面积公式4. （2018浙江金华丽水，22，10分）如图，抛物线（a0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上设A(t，0)，当t=2时，AD=4（1）求抛物线的函数表达式（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离DCEBAOyx第22题图 【思路分析】本题主要考查了抛物线的平移（1）设抛物线的函数表达式为yax(x10) 把点D的坐标代入计算可得a值（2）根据矩形ABCD的周长2（ABAD）得到关于t的二次函数解析式，利用顶点式可求得矩形ABCD的周长的最大值（3）抛物线平移的距离就是OBD的中位线PQ的值【解题过程】解：（1）设抛物线的函数表达式为yax(x10) 当t2时，AD4，点D的坐标是（2，4）4a2（210），解得a抛物线的函数表达式yx 2x（2）由抛物线的对称性得BEOAt，AB102t当xt时，yt 2t矩形ABCD的周长2（ABAD）2（102 t）（t 2t）t2t20（t1）20，当t1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是（3）当t2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4）矩形ABCD对角线的交于点P的坐标为（5，2）当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分 当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积ABCD，线段OD平移后得到线段GH线段OD的中点Q平移后的对应点是P在OBD中，PQ是中位线，PQOB4所以抛物线向右平移的距离是4个单位【知识点】待定系数法求抛物线的函数表达式；抛物线的平移；最值；三角形中位线定理；平分矩形面积；5. （2018四川内江，28，12）如图，已知抛物线ybx3与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CDx轴，交抛物线于点D（1）求抛物线的解析式；（2）若直线ym（3m0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EGx轴于点E，过点H作HFx轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线ykx1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为、，且：4：5，求k的值【思路分析】（1）将已知A（3，0）和点B（1，0）分别代入到抛物线ybx3中得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，从而确定抛物线的解析式；（2）由CDx轴和C（0，3），可以知道D点的纵坐标为3，代入抛物线中可以求出横坐标，这样就可以确定直线AD和BD的解析式，因为直线ym（3m0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，所以可以将G、H两点的坐标用m的代数式表示出来，进而利用矩形的面积公式就可以将矩形GEFH的面积用m的代数式表示出来，然后利用二次函数的性质，求出矩形面积的最大值；（3）因为四边形ABCD为梯形，利用梯形的面积公式可以求出四边形ABCD的面积，又因为直线ykx1将四边形ABCD分成左、右两个部分，且：4：5，可知，假设直线ykx1经过D点，求出此时分成的三角形的面积，将其和4比较，如果小于4，则直线ykx1应该与CD相交，将直线ykx1与x轴和直线CD的交点坐标分别用k的代数式表示出来，然后利用梯形面积公式表示出的面积，然后由，得到方程，解这个方程就可以求出k的值【解题过程】（1