中考数学专题特训第二十二讲：梯形(含详细参考答案)

1、中考数学专题复习第二十二讲 梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积： 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形一般梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形特殊梯形2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X高 【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定： 1、性质：等腰梯形的两腰相等， 相等等腰梯形的对角线 等腰梯形是 对称图形 2、判定： 用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 对角线 的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形式 常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】 考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012内江）如图，四边形AB

2、CD是梯形，BD=AC且BDAC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9思路分析：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，过点B作BFDC于点F，判断出BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解解答：解：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，过点B作BFDC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又BD=AC且BDAC，BDE是等腰直角三角形，BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）BF=9故答案为：9点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般对应训练1.（2012无锡）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A17B18C19D201考点：梯形；线段垂直平分线的性质分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案解答：解：CD的垂直平分线交BC于E，DE=C

3、E，AD=3，AB=5，BC=9，四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17故选A点评：此题考查了线段垂直平分线的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键 考点二：等腰梯形的性质例2 （2012呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A25B50C25 D 思路分析：过点D作DEAC交BC的延长线于点E，作DFBC于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，BDE=90，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可解答：解：过点D作DEAC交BC的延长线于点E，ADBC（已知），即ADCE，四边形ACED是平行四边形，AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，DB=DE（等量代换），ACBD，ACDE，DBDE，BDE是等腰直角三角形，作DFBC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）DF=（3+7）5=25，故选A点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形

4、的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键对应训练2（2012厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 323考点：等腰梯形的性质分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，BCD=ABC，再由全等三角形的判定定理得出ABCDCB，由全等三角形的对应角相等即可得出DBC=ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3解答：解：梯形ABCD是等腰梯形，AB=CD，BCD=ABC，在ABC与DCB中，,ABCDCB，DBC=ACB，OB=OC=3故答案为：3点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键 考点三：等腰梯形的判定例3 （2012襄阳）如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与

5、性质分析：（1）由ADBC，由平行线的性质，可证得DEC=EDA，BEA=EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得EAD=EDA，则可得DEC=AEB，继而证得DECAEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由ADBC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由ABAC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AGBE于点G，易得ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积解答：（1）证明：ADBC，DEC=EDA，BEA=EAD，又EA=ED，EAD=EDA，DEC=AEB，又EB=EC，DECAEB，AB=CD，梯形ABCD是等腰梯形（2）当ABAC时，四边形AECD是菱形证明：ADBC，BE=EC=AD，四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形AB=ED， ABAC，AE=BE=EC，四边形AECD是菱形过A作AGBE于点G，AE=BE=AB=2，ABE是等边三角形，AEB=60，AG=，S菱形AECD=ECAG=2=2。点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形

6、的判定与性质此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用对应训练4（2011百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点（1）请你在下列条件DM=CN，OM=ON，MN是OCD的中位线，MNAB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是 DM=CN（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为（2）先根据SAS证明AMDBCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知 ，根据平行线分线段成比例，所以MNCDAB，且MNAB，即四边形ABNM是等腰梯形解答：解：（1）可以选择DM=CN；（2）证明：AD=BC，ADM=BCN，DM=CNAMDBCN，AM=BN，由OD=OC知OM=ON，MNCDAB，且MNAB四边形ABNM是等腰梯形点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的

7、性质和平行线分线段成比例的关系考点四：梯形的综合应用例4 （2012黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：ABN=CBN；DEBN；CDE是等腰三角形；EM：BE=：3；SEPM= S梯形ABCD，正确的个数有（）A5个B4个C3个D2个考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形中位线定理专题：几何综合题分析：连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出ABF与CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出AME与CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到BEM与BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出ABN=CBN，选项正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到EAD为直角，可得出AED为等腰直角三角形，可得

8、出AED为45，由ABC为直角，且ABN=CBN，可得出ABN为45，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项正确；由AD=AE= AB= BC，且CF= BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即DCE为等腰三角形，选项正确；由EF为ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出EFM与ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到AME的面积与BME的面积相等，由BME与BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出AEP的面积等于PEM的面积，得到PEM的面积为ABF面积的，由ABFD为矩形得到ABF与ADF全等，面积相等，由ADF与CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到PEM的面积为梯形面积的，可得出选项错误，综上，得到正确的个数解答：解：连接DF，AC，EF，如图所示：E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，AE=EB=BF=FC，在ABF和CBE中，ABFCBE（SAS），BAF=B

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