中考数学专题特训第十四讲:二次函数的同象和性质(含详细参考答案)
22页1、2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质【基础知识回顾】一、 二次函数的定义:一、 一般地如果y= (a、b、c是常数a0)那么y叫做x的二次函数【赵老师提醒: 二次函数y=kx 2+bx+c(a0)的结构特征是:1、等号左边是函数,右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式,x的 最 高 次 数 是 , 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的同象和性质:1、二次函数y=kx 2+bx+c(a0)的同象是一条 ,其定点坐标为 对称轴式 2、在抛物y=kx 2+bx+c(a0)中:1、当a0时,y口向 ,当x-时,y随x的增大而 ,当x 时,y随x的增大而增大,2、当a0时,开口向 当x-时,y随x增大而增大,当x 时,y随x增大而减小【赵老师提醒:注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标 2、y= ax2 +k,对称轴 定点坐标 3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标 4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】三、二次函数同象的平移【赵老师提醒:二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移,固然要掌握整抛物线的平移,只要关
2、键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系:a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 a越大,开口越 b:对称轴位置,与a联系一起,用 判断b=0时,对称轴是 c:与y轴的交点:交点在y轴正半轴上,则c 0负半轴上则c 0,当c=0时,抛物点过 点【赵老师提醒:在抛物线y= ax2+bx+c中,当x=1时,y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】【重点考点例析】 考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2012常州)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a0),当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别:y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系正确的是()Ay3y2y1 By1y2y3 Cy2y1y3 Dy3y1y2 思路分析:根据抛物线的性质,开口向上的抛物线,其上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,即可得到答案解:二次函数y=a(x-2)2+c(a0),该抛物线的开口向上,且对称轴是x=2抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大,x
3、取0时所对应的点离对称轴最远,x取时所对应的点离对称轴最近,y3y2y1故选B点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征解题时,需熟悉抛物线的有关性质:抛物线的开口向上,则抛物线上的点离对称轴越远,对应的函数值就越大 对应训练1(2012衢州)已知二次函数y=x2-7x+,若自变量x分别取x1,x2,x3,且0x1x2x3,则对应的函数值y1,y2,y3的大小关系正确的是()Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y1 2A2解:二次函数y=x2-7x+,此函数的对称轴为:x=,0x1x2x3,三点都在对称轴右侧,a0,对称轴右侧y随x的增大而减小,y1y2y3故选:A考点二:二次函数的图象和性质例2 (2012咸宁)对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:它的图象与x轴有两个公共点;如果当x1时y随x的增大而减小,则m=1;如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3其中正确的说法是 (把你认为正确说法的序号都填上)考点:二次函数的性质;二次函数图象与几何变换;抛物线与
4、x轴的交点思路分析:根据函数与方程的关系解答;找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断;根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式即可解:=4m2-4(-3)=4m2+120,它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;当x1时y随x的增大而减小,函数的对称轴x=-1在直线x=1的右侧(包括与直线x=1重合),则1,即m1,故本选项错误;将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,对称轴为x=1006,则=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-20122012-3=-3,故本选项正确故答案为(多填、少填或错填均不给分)点评:本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点,综合性较强,体现了二次函数的特点对应训练2(2012河北)如图,抛物线y1
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