2003年全国硕士研究生考试数学(一)真题(含解析)
14页1、2003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 1 页,共 14 页2003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 2 页,共 14 页2003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 3 页,共 14 页2003年数学(一)真题解析一、填空题(1)【答案】e7【 【解解】 】 limCcos x )1*1+工)=ljm 1 + (cos jc 1)(2) 【答案】2工+4夕一之一5=0【 【解解】令 F (j: 9夕,之)=X1 + y1 z ,设切点坐标为(工0,勺),则切平面的法向量为n = F; ,Fy ,F; |(工。,*0)= 2工0,2夕0, 1, 因为切平面与平面2広+ 4夕一z = 0平行,9 T 9 v 一 1所以3上=y2 =,解得工0=1,夕0=2,从而 zo=j+y:=5,L 4 1所求的平面为 2(工1) + 4(j/ 2) (z 5) = 0,即 2x +4yz 5=0.(3) 【答案】1.【 【解解】5 =f x2 cos 2jc djc = | x2 d(sin 2工)d(cos 2jc ) = cos 2工兀/ 2 3 【答案】(_ _/【 【解解】 】 令
2、 A = (aj ,a2), B =(卩i ,02) )./ 2 3设从基ai,a2到基趴仇的过渡矩阵为Q,则B =A Q,于是Q=AiB = (一 1 (5)【答案】4【 【解解】 】P X -Y 1 /(? )djr dj =(6)【答案】(39. 51,40. 49).【 【解解】av 一 . 一0. 05 ,“o.o25 = 1. 96,统计量 -=4(X )N(0,l),(39. 51,40. 49).由P 1. 96 4(X ) 1. 96 =0. 95得的置信度为0. 95的置信区间为 (I乎,工+丁) = (39.51,40.49).7162003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 4 页,共 14 页方法点评:对正态总体XN(y2)的参数进行区间估计分两种情况: 情形一:八已知取 U =N(0,1),由 ua V 1一a ,得参数的置信度为1a o , (T 的置信区间为(X-u , X + zu 情形二未知取 丁 =-/ ( 1),由 P t a (t? 1) V- t a ( 1) = 1 a,得参数卩S 7 5 74n I 4n -的置信度为1a的置信区间为(
3、X t仝(一1),X + s (n 1) V Jn 2 Jn 2 /二、选择题(7)【答案】(C).【解解】 】 设尸(工)与丁轴交点的横坐标从左到右分别为a,h,c,显然/(工)有三个驻点工=a, x =b ,工=c及一个不可导点2 =0.当x 0,当工6(a,b)时,/(工)V0,则鼻=a为心)的极大值点; 当g W (6,0)时,十(工) 0,则工=b为心)的极小值点;当工G (0,c)时,/(z ) V 0,则鼻=0为/(jc )的极大值点; 当工 C时,/Z(J7 ) 0,则工=C为/(J7 )的极小值点, 故/(工)有两个极大值点和两个极小值点,应选(C).方法点评:求函数的极值时按如下步骤进行:(1) 找出fd)的驻点及不可导的点;(2) 判断每个点是否为极值点(按照具体情况选用第一充分条件和第二充分条件).由 lime” = oo 得lim | b”c” | = + ,故limb”c” = 00 ,应选(D).(8)【答案】(D).【解】方法一3取 a” = ,b =n= l,c” =,显然(A), (B), (C)不成立,应选(D)方法二 取 =因为limb” =Ci
4、1,所以存在N 0,当 N时,bn l|v,从而有bn *当 N时,I久C ”丨 丨C ” I (9)【答案】(A).【 【解解】 】 由1此马王2呼:了 =1及 23 的连续性,得/(0,0)=0. lo (2 十 y )yf 02003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 5 页,共 14 页再由 lim 弓打 2阳=1,得 _/(久,夕)xy =(J;2 + y2Y +。(工2 + j2 )2JfO (乂 + V )yf 0或 fCx ,y) =xy + (a- 2 + j2 )2 + o (jr2 + j/2 )2 .当 y =x 时,/(J7,jr)=jf2 + 4工 4 + o (jc 4) x2 + o (a- 2 ) 0 ;当 y = 一 x 时,/(jr , 一 x ) = 一 x2 + 4j? 4 + o (x4 ) = x 2 + o ( j? 2 ) VO,则(0,0)不是函数 的极值点,应选(A).(10) 答案】(D).【 【解解】 】 方法一 因为向量组I可由向量组II线性表示,所以r(I) s时,因为r ( I ) 5 r ,即向量组I的秩小于向量组I所
5、含的向量个数,所以 向量组I线性相关,应选(D).方法二 取I:ai=(;),U:0i=C),02 = (;),显然向量组I可由向量组n线性表 示且r s, 但向量组n线性无关,(e)不对,应选(D).(11) 【答案】(B).【 【解解】 】 方法一 若AX=0的解为BX=0的解,则AX=0的基础解系所含的线性无关 的解向量的个数不超过BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量个数,即n-r(A) r(B); ;(4) 若AX =0的解为BX =0的解,且r(A) =r(B),则AX =0与BX =0同解.2003年全国硕士研究生考试数学(一)真题第 6 页,共 14 页(12) 【答案】(C).【 【解解】 】 因为X/(“),所以存在UN(O,1),V杉(“)且独立, 使得急庁是骼注意到bx2(i)且与v独立,故yF5,i),应选(C).三、解答题(13) 【 【解解】(I )方法一 设切点坐标为(a,In a),由导数的几何意义得山二=丄,解得aa ae,即切点坐标为(e,l),故切线为e方法二 设切点坐标为(a,Ina),所求的切线为 _ JQy n a =(工一q)9或夕=-
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