1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题解析

1、1989年数学（一）真题解析、填空题（1）【答案】一12hA0/(3-A)-/(3)=_|/(3) = _l-h（2）【答案】z 1.【解】【解】令A =|q)cLz,则/(x) = x +2A,对此等式两边从0到1积分得A = + 2A ,Jo Z解得A =，故/（工）=x 1.（3）【答案】7T.【解】【解】方法一(工？ 4- y2 )ds = dsL J L7T lx = COS t ,方法二 令 （兀/冬2兀），则y = sin tJ (x2 + j/2 )ds(cos2Z +sin21)5/( sin t)2 +cos2Z dt = 7r.（4）【答案】2.【解】【解】由 div u =d(j：y2) 3(yez ) 3_x ln(l + z2 )Ojc 3y dz2xz1+z2y2+ b +2.得 div uI （1,1,0）（5）【答案】一斗【解】【解】方法一0010T01I10A 一2E=120o0J由1100 0 : 12 0 : 00 1 : 0010001o0200 10 02 0:1000i 一 i1o卜010:00JI011120o，得J1 0 (A 2E)T

2、 = -4- 4- 0220 0 1方法二I1A-2E = 1o020，其中 =cC） ） 1) ,C = (1),2/1由(B E)=1_ 101丄71989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 5 页1 0 0 丄丄0 2 20 0 1二、选择题【答案】（A）.1sin 【解】 【解】 由limxsin 一 = lim 产 = 1,得；y = 1为水平渐近线；工 fOO X X-* 1（1） 【解】 字=【解】 字=2厂+ 厂+ g； + yg；, - = f + xgxz+gi + xygzz-djc djcdy（2） 【解】 【解】 方法一 P = xy1 2 , Q = p（H）y 9因为曲线积分与路径无关，所以薯=碧，即卩Q）= 2乂， 解得卩（无）=x2 + C,由卩（0） = 0得C = O9故申（工）=x2 ；r（ （i,i） ） ri fi xy2dx +（p（.x）ydy = xy2dx + x2 ydy = Odw + ydy = J （ （o,o） ） J （ （o,o） ） J o J o Zr由limzsin丄=0,得曲线y =工sin丄 无铅

3、直渐近线，应选（A）.X-* 0 JC JC（2） 【答案】（C）.【解】 【解】 设点P的坐标为（工。，了。，4 亦一式），该点法向量为n = 2乂。，2%,1,由= +得工0 = I，% = 1,故所求的点为（1,1,2）,应选（C）.（3） 【答案】（D）.【解】 【解】 显然小一3，23为y + p（H）y + g（z）y = 0的两个线性无关解，故 y + p（z）y + gQ）y = /（工）的通解为y = Ci ，3）+C2（y23）+$3 = Gy】+ C2y2 + （1 C! C2 ）y3应选（D）.（4） 【答案】（B）.【解】 【解】 对/（工）进行奇延拓，将/Q）展成正弦级数，则S（*） = -S（y ），因为工=*为函数/Q）的连续点，所以S = （*） = /（y） = +，故S（-y） = _*，应选（B）.（5）【答案】（C）.【解】 【解】 方法一 因为|A| = 0,所以r（A） 4,从而矩阵A的列向量组线性相关，即必有一列可由其余0列线性表示，应选（C）.401方法二 取A =o110000000，显然 | A | = 0,01.矩阵A任何一列元素

4、都不全为零，任何两列都不成比例，第4列不是第1,2,3列的线性组合，即排除 （A）（B）（D）,应选（C）.1989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 5 页方法二 P = xy2 ,Q =（pxy j由箸=診得）=2工，解得卩（工）=x2 C,由卩（0） = 0得C = 0,故卩（工）=x2（1,1）(1,1)xy2 dx (px)ydy = (0,0)(0,0)jcy2 djc x2 ydy =(1,1)(0,0)iz 1 2 2 _ 1 2 2d(牙H y ) = X y( (i,i) )(0,0)1_（3）【解】方法一由Vr2+y2 = 得。在工Oy平面上的投影区域为D ：2+j2 y,由对称性得业Q乂 du = 0 9于是n5/ l-x2y2QZ zdzzdv = jj dj? dj,n d=訝(1 2兴一20d_zdy =( * 工D DJ o J 02 A? ) ctrdy01方法二jc dv =。即 jjjQ +z)du =JC令由对称性得业 n=rcos Osin cp ,=rsin Osin 卩，(002兀,0卩于，0厂1) 9 则Z=rcos (p0

5、rcos (p r2 sin cpdro2兀4 cos cp sin or3dr = -sin;0 2 2122(PT 7To = T四、【解】fjc ）=-1 +(12)+ (1+工)證）11+jc2(1 H )2fx)的幕级数为 f S = ( 1)八(_ 1 Sd心于+ 缶八注意到乂 = 1时/（）有定义且级数手+ 宀 收敛，4 =0 2 + 100 /_ -I n故 /（X）关于工的無级数为y（z） = + S T1r2n+1（-Kx 0；当R 时，器 VO,故当R = -a时Q位于定球面内的面积最大.3 aK 3 dK 3十、填空题(1)【答案】0.7.【解】【解】由 P(B | A) = 0.8,即P(AB)P(A)=0. 8 得 P(AB) = 0. 4,于是 P(AUB)= P(A)+ P(B) P(AB) = 0.5 + 0. 6-0. 4 = 0.7.(2)【答案】0.75.【解】 【解】 设A = 甲命中目标, B = 乙命中目标, C=目标被命中,P(A) = 0. 6,P(B) = 0. 5,且 C = A + B,则P(A | C)=P(AC)P(C)P(A)P(A+B)P(A)=P(A) + P(B) - P(A)P(B)(3)【答案】0.&0. 60. 6 + 0. 5 - 0. 3=0. 75.【解】【解】随机变量g的概率密度为/(x) = 5Io,其他，当 = 240,即WW2或时，方程d +自+ 1 = 0有实根，6 1则方程x2 + + 1 = 0有实根的概率为PM2 = j dj： = 0. &十一、【解】因为相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以随机变量Z = 2X Y+3服从正态分布，又因为 E(Z) = 2E(X) E(Y) + 3 = 5, D(Z) = 4D(X) + D(Y) = 9,所以ZN(5,32), 52故随机变量z的概率密度为fz(z) = , _oo 2 + oo.3 7271989年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 5 页

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