2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题（含解析）

1、2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 1 页，共 14 页2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 2 页，共 14 页2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 3 页，共 14 页2004年数学（一）真题解析一、填空题（1） 【答案】夕=鼻1.【 【解解】 】 设曲线y=ln_r上切点坐标为（a,Ina）. 因为x + y = 1的斜率为一1,所以切线的斜率为1.令丄=1得a =1,切点为（1,0）,切线为y Q X 一1,即y x 1. a（2） 【答案】 y（ln）2.【 【解解】 】 令e，=/，由y（e）=HeP,得十&）=巫，从而十（工）=肛.t X于是 ） = -（ln X ）2 +c 由 /（I） = 0 得 C =0,故 fx ） =-（ln x ）2.乙 Ci（3）【答案】 y.【 【解解】 】 方法一 令A（V2 ,0） ,B（0,V2 ）,则x dy 一 =) ) jc dy 一 2dr + _jc dy 一 一 _x dy 2ydj?,L+BO+OA *、 I OB 3tt_ _x dy 一 2ydx = 3jJ djr d.y = 3 X X

2、 2tt = DOAL+ BO+ OA_x dy 一 2y dx = 0 , OB_x dy 一 2j/djr = 0 , OA于是 f J-dj/ 2_ycLz =夢.方法二X =V2 COS 0，/ . 7T 起点0=0,终点&=-)，则 y =V2_sin 0 /L令x dy 2y( (jc =_n2 (施cos 0 施cos 9 + 2施sin 9 Vsin 0)d0 02 (1 + sin2 yDQO =px yj=l-pxo+ mxm lo+z 4x2由 lim =ht+z于是7-4故无穷小量从低阶到高阶的次序为 * ,0,应选(B).cos i2 d?J 0tanT? dtJ 0tanT dtJ 0sin t 3 dtJ 0方法二 因为lim * = limH-o+ P o+2lim .士_= -oo ,o+ tan xcos xlim = lim r-0+ y J-*O+limr-0+lim = limr-*o+ a h_o+lim r-02jc tan x 八n:-=- sin x2 77- sin x lx2 Jxcos x2cos t2 dt0所以无穷小量的阶数从

3、低阶到高阶的次序为丫心应选(B).r/rsin t 3 dt o0,2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 5 页，共 14 页方法三 由 t 0+ 时，cos 厂 f 1,tanTT 4t ,sin t3 t得乂 2 丄 2 9 W 1a d/=_z,p | 4t dt = t2 | o -3 * | t3dt j?2 ,J o J o o o Jo 4显然无穷小量从低阶到高阶的次序为a,J0,应选(B).方法点评：本题考查无穷小量阶数的比较.判断无穷小量的阶数有如下几种常用的方法:(1) 等价无穷小如：/1 + 2 1X 2 ;、 工3 1 1(2) 麦克劳林公式.如：力 sin x x 一 x - -o (jc 3) x ；tan x2ljc (3)待定阶数法.如:a0tan t . a x2 2xdr 9 lim - lim lim ?，l 丄-*o x mx 工-*o mx得加一1=1.9艮卩加=2,得a x2(8)【答案】(C).【 【解解】 】 根据导数的定义,/0) = Hm fC 0.丁-*o x由极限保号性，存在& 0,当0 V |工| V &时,4上(0)0

4、.X于是当攵 e (5,0)时，/(工)/(0),应选(C).方法点评：本题考查极限保号性的应用.函数在一点导数大于(小于)零与函数在一个区间内大于(小于)零是不同的，需要作如下补充说明：(1)函数在一点导数大于(小于)零的情形若/()0,由导数的定义，y(a)= lim公王上二仏2 0,由极限的保号性，存在50, x-a X Cl. , .,f (工)一f(a) 十 e 亠MdV/a)， x Ca 8 ,a),当0 V|za |V5时，. . .0,于是有( 但/ (工)工一a f(x) /(a), HW(a,a+&),在工=a的去心邻域内不一定单调增加；若/()0, xa JC CL, , , ,f (x ) f (a ) 口亠x G (a 8 9当 0 V|za |V5 时 9-C 0,于是有 但 f(H)力a f(x) 0 ,z-*0 x x-*0 2 x f 2当HO 时，_TQ)=+ 2_zcos+ + sin,2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 6 页，共 14 页因为厂2”兀十守=号0/2n 7r-= V 0,所以ff(J；)在z =0的去心邻域内不保正号，/

5、(工)在z = 0的邻域内不单调.(2)若f (jc )在x =a的去心邻域内保正号或负号，则/(工)在x =a的去心邻域内单调 增加或单调减少.(9)【答案】(E).【 【解解】 】 方法一 取a” = 1丄1、，显然lim“a”=C),但级数a” = 】丄、发 nln(n + 1) 铝 铝 n ln(7? + 1)散，(A)不对；取 a” =A，级数工 a” =工 T 收敛，但 limna” = lim 4n = + ,(C)不对；v . 1 V n-* n-*n2 n = 1 n2取a”= i / 级数工a”= 工i / 1、发散，但= +,(D)不对，应选(B). ln(” + l) 铝 铝 InS 十 1) ”8方法二 设limnan =A 0,取e()=刍0,因为vanan =A ,所以存在N,当N时n-*oo / n-*oona A I 或 a” oo OO而Y 发散，由正项级数的比较审敛法得”发散.应选(B). n = l 加 n = l(10) 【答案】(E).【 【解解】方法一交换积分次序，得F(/)= dj I / (jr ) d = I djr I f (a:)

6、 dy = | (工一1)/(jc )dj?, JlJy J1J1 JlF(t)=(t 则 F(2) =(2 1)于(2) =/(2),应选(E).方法二 令 G(_z) =f7&)ck,则F (t) = f dy f /(jc )dj? = G(t) G (3/) dj/J 1 J y J 1=(t 一1)G(/) j G(3/)dj;,Fd) =G(/) + (/ 1)G&) GQ) =(/ 一 1)/0),于是 F(2) = /(2),应选(E).(11) 【答案】(D).【 【解解】由初等变换的定义，得/1I100B =A100 ,C 01100001/1I10于是CA 10111o002004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 7 页，共 14 页0 1 b1 0 0 ,应选(D).0 0 F/1/00故 Q = 10d11o0Jo0J(12)【 【答案答案】(A).【 【解解】方法一设A为m Xn矩阵，B为n X 5矩阵.由 AB = O.得 r(A) +r(B) l,r(B) 1,于是r(A) n,r(B) n.因为矩阵的秩、矩阵行向量组的秩、矩阵列向量组的秩都相等，于

7、是A的列向量组的秩小 于列数,B的行向量组的秩小于行数,A的列向量组线性相关/的行向量组线性相关，应选(A).方法二由AB =O得a liQ12 5( (bub 12 设A =a 21Q22 a*(a i 9 a 2 9 .aw=b 222 b2s=02a m 1a m2 Qmn,/儿2 b”、,、0”U I + Si a 2 十+ b”i a ” = 0, a ii0i + a 1202 + + a “0” = 0,12 I + 5 22 a 2 + b2U n = 0 a 210 1 + Q 2202 + + 2 2nfi n = ，. 及.、ai + h 2、a 2 H-b”、a” =0. + amifi2 H-+ amp =0.因为A.B为非零矩阵，所以存在不全为零的常数bXj ,b2j , - ,bnj及a：i ,“2 a ：”，使得 九a + b2ja 2 + + b”?a” =0 及 a,+ a,*02 + + a=0,即s，a?,，a”与0,庆，“”都线性相关，应选(A).方法点评：当研究矩阵的秩与向量相关性时，一般使用矩阵的秩、矩阵行向量组的秩、矩 阵列向量组的秩相等

8、的性质.向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于向量组所含向量的个数；向量组线性无 关的充要条件是向量组的秩与向量组所含向量个数相等.(13) 【答案】(C).【 【解解】 】 由 PX ua = a，得h =匕，应选(C).(14) 【答案】(A).【 【解解】Cov(Xi ,y)= Cov(Xi ,XJ +Cov(X ,X2) -Cov(Xi ,X”),11因为 X ,X2,，X” 相互独立，所以 Cov(X| ,X,) =0(： =2,3, ,”)，i 2于是 Cov(Xi ,y)=DCXJ =,应选(A).n n方法点评:随机变量数字特征计算中要熟练掌握如下几个性质：(1) 若x,y相互独立，则Cov(x,y)=o； ； 1(2) 若X-X2,，X”是总体X的简单随机样本，则E(X) =E(X),D(X) =D(X).n2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 8 页，共 14 页三、解答题（15）【证明】方法一辅助函数法（单调性）4 4ln2b - ln2a （ba）等价于In26 - n2a （b a） 0,e e4 令/*(2)= x 一 a-(jc 一 q)9 /

9、(a) = 0.e厂Q)=坐上*，因为fx ) =2( (1- e),所以当工6时，十(工)单x e x调减少.( e2 = 0由 ， 得Ce2),即于(工)在(e,e2)内单调增加9由I厂Q) e),4 eVa C 6 刍一a ）等价于_ la e b a e21 n t如兰，由微分中值定理得Xn b 一 a 21n c 心亠 厂/ . x:-=-，其中c e （a）b 一 a c令卩（工）=如，因为卩（工）=2（1）e）,所以卩（工）在（e,e2）内单调减令 ） = n x，厂（工）X 2. / 2、 4 =2111 c、4 Htlb n a 4少且(e2)=飞，从而- 右，即一:-r e c e b a e(16) 解解】 】 方法一 设飞机着陆时/=0,从着陆开始的/时刻飞机速度为 Wdz?m = kv 9dtv(0) =700.由牛顿第二定律得F阻=ma 9由题意得由 m 婁=一局，得 m r = 一局 9 即 m dv = 一k djr 9 积分得 mv = kx + C. df dr df由 77(0) = 700 , j? (0) = 0,得 C = 700m 9 于是

10、 z = -(700 v)m , k取u = 0得工=-7- X 700 X 9 000 = 1. 05 （km）,即飞机从着陆到停止最长可以滑行6 X 1061. 05千米.方法二 设从着陆（/ = 0）开始t时刻飞机滑行的速度为（/）,根据题意得氏m = 一 kv ,dt 讥0） =700.由m竽=如得字+ 化 =0,解得讥/） =Ce_M ,dt at m_k_由 讥0） = 700 得 C =700,于是 u（t） = 700e 2004年全国硕士研究生考试数学（一）真题第 9 页，共 14 页故飞机滑行的最大距离为+ooJ 讥 t)dt =700700/z?ks =+ n07=l.O5(km).警 A k k(17)【 【解解】 】 补充20：z =O(jt2 +j/2 1),取下侧，)23 dy dz + 2y3dzdj： ： + 3(z21) dr djy 9由高斯公式得# 2j? 3 dy dz + 2y3 dz dr +3(/ 1) dj? dj/ = 6 ( jt 2 + y2 + z ) du 9 *0=6dz fn)? N(1 N )4 2_x 2 + y2 -

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