吴望一《流体力学》第三章习题参考答案.doc

吴望一《流体力学》第三章习题参考答案1．解： CVCSdsttv由于 时刻该物质系统为流管，因而侧面上 的通量＝0，于是（1）定常流动 ， ，设流速正方向从 1 端指向 2 端0t21dVdt（2）非定常流动 21CVdtt2．解：取一流体微团，设其运动方程为 ，(,),xabctyzt由质量守恒得，在 和 时刻0t, ,abcdabctdxyz利用积分变换可知 （雅可比行列式） ，于是,xyzdxyzJ,(,0)(,)zabcabctdabc,,,xyt3． （控制体内流体质量的增加率）＝－（其表面上的质量通量）（2）球坐标系下选取空间体元（控制体） 单位时间内该空间内流2sinr体质量的增量为 2itt该控制体表面上的质量通量：以 和－ 为法向的两个面元上的质量通量为vrer 2sin|sin| sinrrr rvv以 和－ 为法向的两个面元上的质量通量为ve sinsin|sin|vrvrr以 ev和－ 为法向的两个面元上的质量通量为||vvrvrr所以 22 sinsinsin0r vrt 即 2i11sisinrvvt r（3）柱坐标系下选取空间体元（控制体） z单位时间内该空间内流体质量的增量为 rztt该控制体表面上的质量通量为 r zvvvzrr所以 0r zt即 r zvvt（4）极坐标系下选取面元（控制体） ，可认为该面元对应以该面元为底面的sr单位高度的柱体。

该柱体内质量变化率为 ，rt其表面上的质量通量为 rvvr所以 0rvt4． （1）平面辐射性流动速度分量 ， )rv0利用极坐标系下的连续性方程可得 rt（2）空间辐射性流动速度分量 ， ， 由球坐标系中的连续性方程()rv0v可得 20rvt或如下推导：选取一层薄球壳为研究对象，则单位时间内流入的流体质量等于其内部因密度变化引起的质量变化，即2222 2()4()()4vrrdvrdrvrrdrt t进一步变形可得 ，即 20txr0vdtr若流体不可压缩， ，则 ，此式表示各同心球面上的流体体积通量相等dt2v（3）在柱坐标系下该流动 ，由柱坐标系下的连续性方程可得0vrzvt（4）在柱坐标系下该流动 且 ，由柱坐标系下的连续性方程可得0zvr0vtr（5）在柱坐标系下该流动 ，由柱坐标系下的连续性方程可得0rvzvtr（6）在球坐标系下该流动 ，由球坐标系下的连续性方程可得0v21sinrvt5． （1） 12120ssdvdt（2）定常流动 ，于是 ，表明此时流管各截面上01212ssv质量通量相等。

若横截面上速度均匀，则， S（3）不可压缩流体流动 ， ，即 ，表明此时dt0v120ssvdv流管各截面上体积通量相等若横截面上速度均匀，则 S6．不可压缩流体 ，即 0v 0uvxy则 ，积分得 2uax2vaxy2vaxyc由边界条件得 ，则 0c7．不可压缩流体 ，得 ，积分得 vcoshxveyysinhxveyc由边界条件得 ，则0cinx8．证明： 3uvwxyz所以该不可压缩运动不可能存在9． （1） 4()0vxyxyz 所以该不可压缩流体得运动是可能存在的2） 22224 388zxzyzxyzuxy 2224223yzzxyvyx0wz0uvxyz所以该不可压缩流体得运动是可能存在的3） ，所以该不可压缩流体得运动是可能存在的vwxyz10．由 得 ，即 ，于是 积分得00uvxyz530wz2z由原点处速度为 0 条件得 ，所以 2wzcc11． （1）不可压缩流体流动满足 123vSvQ三个截面上的速度分别为 ， ， 。

1QvS23QvS带入数值得 ， ， 13.8/vms2.74/s31.42/ms（2）流体可压缩由于流动定常，各截面上质量通量相等，123vSvS将 和 代入得210.63.2，1230.6.vvQ代入数值得 ， ， 1.8/vms2/s18/ms12．本题假设管道截面上平均速度沿轴向并且为 由题意可知 ，因而各截面上质u0t量通量相等，即 已知 处 且 ，故 uconstx111u1u15．证明 1： 时刻沿流管选取长为 的一段流体微元（物质体）作为研究对象，并定义其轴ts线上的物质线元向量沿速度方向，记为 由物质体的质量守恒知 uv()0dAst分部微分得 )()0dAdstt利用物质线元的随体导数公式 ，可得 由于流管形状不随rVttvvdsVtuv时间变化，有 ，且对于沿速度方向选取的物质线元而言，其两端的相对速dsutv度 ，于是有 代入质量守恒方程得到ust()()0AuAtss，即 )()0Avts证明 2：取长为 的一段流管，由质量守恒可知流管内质量增加率 通过流管表面的质量通量 ，其中流管内质量增加率： ，考虑到流管形状不变有 ；Astt Astt通过流管表面的质量通量： ，12||ssAuus所以由上两式得 0Auts21． 12jiij jijivSSx11221212uuvuwyxzxvSyxyuwzzyz ， ，123s135s237s， ，20.4pN10.4pN230.56pN22．使用柱坐标系， （公式见 page190）单位长度圆管对流体的阻力：0 210 0022rucrcr在管内 处每单位长度的内摩擦 ， 。

0 2 022ru25． : :dUPSkTqPSpvt该流动的变形运动张量 ，02uhS于是 2123ijks2095uh2/达 因 厘 米 秒26．对于不可压缩流动 ，将 表达式代入得ijsij122jjiijijijjiij ijiijuxxuxuxx另外 2rot ,knijimj knjknjjmjkkjjjuVxxuuxv注意到，jk cjVxv其中 的下脚标表示中括号外面的哈密顿算符不对 微分，于是积分cVv c，jk cj SuddVdsxvvÒ其中 代表封闭容器的内壁由于粘性流体满足如下边界条件：在 上 ，所以S S0v0jkjudx于是有2rotVv27． （1）流动速度场： （ ） ，计算可知该流动为不22,,0yxuRwrrrR可压缩流体流动（ ） ；忽略热传导，能量方程为0Vv，其中 ，dUpt2()3kij ijss计算可得 ，于是 。

244200xyrSRr42Rr流场总内能变化率 42241RdUhrdRht（2）流体作用在柱面上的切应力： ，()rrvp其中流体运动速度， ，22vuRr 0（ 逆 时 针 转 动 ）或22 v(0,顺 时 针 转 动 ）所以 2流体作用在柱体上的面力力矩 ，其方向与 方向相反224LRhRhv圆柱对流体做功功率 4证明：证明 1：在静止参考系 中，由法向速度连续条件 知oxynv固 流Unuivj物体边界 ，固体边界法向 12, 0Fxytkxt 20,1Fkny代入上式得，FUuvxy即2vkxyu证明 2：边界条件还可以表示为 ，0FdFVt其中 代表边界上流体的速度， ， VvVuivjijxyv将边界曲面方程代入运动学边界条件计算整理后可得证。