人教A版高中数学 选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 教案.doc

3.1.3．空间向量的数量积教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化 教学过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．4．空间向量数量积的性质： （1）．（2）．（3）．5．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律）．（三）例题分析：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：．证明：在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使，∴，又∵，∴，∴，∴，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．例2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：（法一） ．（法二）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，，∴，∴，∴，即．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值解：∵，∴ ∴，所以，与的夹角的余弦值为．说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！五．课堂练习：课本第99页练习第1、2、3题六．课堂小结：空间向量数量积的概念和性质七．作业：课本第106页第3、4题3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标：1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系 2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示重点难点：1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐标表示一、向量在轴上的投影1．几个概念(1) 轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即设e是与轴同方向的单位向量，则(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4) 空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影5) 向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。

2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法即二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系 设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示 沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i + j+k或a = ax i + ayj + azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a ＝ {ax，ay，az}上式叫做向量a的坐标表示式 于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于原点O的向径 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.2．向量运算的坐标表示 设，即，则(1) 加法： 减法： 乘数： 或 平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。

1． 模 2． 方向余弦由性质1知，当时，有任意向量的方向余弦有性质：与非零向量a同方向的单位向量为：3． 例1：已知两点M1(2,2,)、M2(1,3,0)，计算向量的模、方向余弦、方向角以及与同向的单位向量解：＝{1-2，3-2，0-}={-1，1，-} ，， ，， 设为与同向的单位向量，由于 即得。