2.5.1 直线与圆的位置关系教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第五节《直线与圆、圆与圆的位置关系》以下是本单元的课时安排：第二章 直线和圆的方程课时内容2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系所在位置教材第82页教材第91页新教材内容分析圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系核心素养培养通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养教学主线圆的方程的应用上一节学习了圆的方程，本节内容是在上一节内容的基础上，研究直线与圆。
圆与圆的位置关系及其应用，在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，培养数学抽象的核心素养；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.重点：判断直线与圆的位置关系难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题（一）新知导入“海上生明月，天涯共此时表达了诗人望月怀人的深厚情谊在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采. 这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离. 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系二）直线与圆的位置关系【思考1】 怎样用几何法即用圆心到直线的距离d同圆的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系？【提示】利用圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系判断它们之间的位置关系如下：若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d0)，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？【提示】联立直线l和圆C的方程得方程组，当方程组无解即Δ<0时，直线与圆相离；方程组有一解即Δ＝0时，直线与圆相切；方程组有两解即Δ>0时，直线与圆相交． ◆直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点两个一个零个判定几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0【做一做】 (教材P93练习1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离解析：圆心到直线的距离d＝＝<1，又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但不过圆心．答案：B（三）典型例题1.直线与圆的位置关系的判断例1.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【分析】直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．【解析】法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)当Δ＞0时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ＜0时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝ .①当d＜2时，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；②当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；③当d＞2时，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．【类题通法】直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是圆心到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．【巩固练习1】直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．不确定解析：∵(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0恒过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7<0，∴定点(－1，－1)在圆内，∴直线与圆相交．答案：B2.直线与圆相切例2.若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．【分析】可以利用几何法和代数法两种思路求切线方程．【解析】∵(2－1)2＋(3＋2)2>1，∴点P在圆外．法一：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.法二：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得：(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，∴Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，∴k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.【变式探究1】在本例条件下，求此切线长．【解析】点P(2,3)到圆心(1，－2)的距离为＝，∴切线长为＝5.【变式探究2】若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，求直线l的方程．【解析】∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，即直线l的方程为x＝2.【类题通法】如果所求切线过某已知点M，务必弄清该点在圆上还是在圆外．(1)如果M点在圆上，那么圆心和点M的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．【巩固练习2】直线与圆相切，则实数等于（ ）A．或 B．或 C．或 D．或解析：圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ，故选C．答案：C3.直线与圆相交例3. 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．【分析】法一求出直线与圆的交点坐标，法二利用弦长公式，法三利用几何法作出直角三角形，三种解法都可求得弦长．【解析】法一：由得交点A(1,3)，B(2,0)，∴弦AB的长为|AB|＝＝.法二：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标(0,1)，半径r＝，点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，所以半弦长为＝＝＝，所以弦长|AB|＝.【类题通法】求直线与圆相交时弦长的两种方法：图1 图2(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2.即|AB|＝2 .一般地出现直线与圆相交的弦长问题常用几何法． (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|，其中k为直线l的斜率．此代数法运算较麻烦．【巩固练习3】若过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，则直线l的方程为________．解析：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25.若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3.圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.圆心到直线l的距离为d＝，则2＋(2)2＝25.解得k＝－或k＝2.所以所求直线的方程为y＋3＝－(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.答案：x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0（四）操作演练 素养提升1.直线x－y－4＝0与圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相交且过圆心 D．相离2.过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线方程为( )A．y＝－3x或y＝x B．y＝3x或y＝－xC．y＝－3x或y＝－x D．y＝3x或y＝x3.已知直线l：ax＋by＝1，点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1外，则直线l与圆C的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定4.圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于________. 答案：1.D 2.A 3.A 4. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ 。
