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第二章条件概率与统计独立性 条件概率定义性质条件概率的乘法公式全概率公式Bayes公式 第一节 一 条件概率 条件概率是概率论中的一个重要概念 同时 我们将发现它也是用来计算复杂模型中概率的重要工具 什么是条件概率 袋中有十只球 其中九只白球 一只红球 十人依次从袋中各取一球 不放回 问第一个人取得红球的概率是多少 第二个人取得红球的概率是多少 摸球 若已知第一个人取到的是白球 则第二个人取到红球的概率是多少 已知事件A发生的条件下 事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率 记作P B A 这里要求P A 0 若已知第一个人取到的是红球 则第二个人取到红球的概率又是多少 若事件B已发生 则为使A也发生 试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 即此点必属于AB 由于我们已经知道B已发生 故B变成了新的样本空间 于是有上式 例市场上供应的灯泡中 甲厂占70 乙厂占30 甲厂产品的合格率是95 乙厂的合格率是80 若用 分别表示甲 乙两厂的产品 B表示产品为合格品 试写出有关事件的概率 解 依提意 进一步可得 条件概率 是 概率 吗 何时P A B P A 何时P A B P A 何时P A B P A 条件概率是概率 条件概率的性质 自行验证 设B是一事件 且P B 0 则 1 对任一事件A 0 P A B 1 2 P B 1 而且 前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率 请自行写出 特别推广3可数个 在给出乘法公式前 先看一个例子 例设袋中有3个白球 2个红球 现从袋中任意抽取两次 每次取一个 取后不放回 1 已知第一次取到红球 求第二次也取到红球的概率 2 求第二次取到红球的概率 3 求两次均取到红球的概率 解 设A 第一次取到红球 B 第二次取到红球 由此看出 在该例中 设A B P A 0 则P AB P A P B A 上式就称为事件A B的概率乘法公式 乘法公式还可推广到三个事件的情形 P ABC P A P B A P C AB 更一般地 有下列公式 条件概率的链式法则 P A1A2 An P A1 P A2 A1 P An A1 An 1 二 乘法公式 例求前例中从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率和买到一个乙厂合格灯泡的概率 解 要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的 事件A发生 又是合格的 事件B发生 概率 也就是求事件A和B同时发生的概率 由乘法公式知 进一步可得买到一个乙厂合格灯泡的概率是 乘法公式应用举例 一个罐子中包含b个白球和r个红球 随机地抽取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球 这种手续进行四次 试求第一 二次取到白球且第三 四次取到红球的概率 波里亚罐子模型 于是W1W2R3R4表示事件 连续取四个球 第一 第二个是白球 第三 四个是红球 随机取一个球 观看颜色后放回罐中 并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球 解 设Wi 第i次取出是白球 i 1 2 3 4 Rj 第j次取出是红球 j 1 2 3 4 用乘法公式容易求出 当c 0时 由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率 这是一个传染病模型 每次发现一个传染病患者 都会增加再传染的概率 P W1 P W2 W1 P R3 W1W2 P R4 W1W2R3 P W1W2R3R4 我们用条件概率的思想来解答囚犯和看守间关于处决谁是否要保密的问题 监狱看守通知三个囚犯 在他们中要随机地选出一个处决 而把另外两个释放 囚犯甲请求看守秘密地告诉他 另外两个囚犯中谁将获得自由 如果你知道了你的同伙中谁将获释 那么 你自己被处决的概率就由1 3增加到1 2 因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了 NO 对于看守的上述理由 你是怎么想的 解 看守说得不对 理由如下 在这个问题中 当情形是囚犯甲被处死时 看守告诉要获得自由的人可以是囚犯乙或丙 有两种情形 而当情形是囚犯乙 或丙 被处死时 看守可以告诉要获得自由的人可以是囚犯丙 或乙 请回答 如图示 情况 囚犯的命运 看守说这名囚犯将获释 这种情况出现的概率 甲 乙 丙 乙 丙 丙 乙 被处死者 甲 甲 乙 丙 1 6 1 6 1 3 1 3 可见 不论看守泄露消息与否 囚犯甲被处决的概率不变 三 全概率公式 定义事件组A1 A2 An n可为 称为样本空间 的一个划分 完备事件组 若满足 A1 A2 An B 设A1 An是 的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 上式就称为全概率公式 全概率公式的应用 例 市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B 设买到一件次品 买到一件甲厂的次品买到一件乙厂的次品买到一件丙厂的次品 选票问题 在一次选举中 候选人A得到n张选票候选人B得到m张选票 其中n m 求在记票过程中A的票数始终领先的概率 下面用归纳法证明 四 Bayes公式 球取自哪号罐的可能性较大 实际中有这样一类问题 是 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 或者问 一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球 其中一罐 取名 甲罐 内的红球数与黑球数之比为2 1 另一罐 取名 乙罐 内的黑球数与红球数之比为2 1 今任取一罐并从中依次取出50只球 查得其中有30只红球和20只黑球 统计推断选取 概率大 的 三 Bayes公式 接下来大家可以自己总结出解决这类问题的 贝叶斯公式 设A1 An是 的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 上式就称为贝叶斯公式 例数字通讯过程中 信源发射0 1两种状态信号 其中发0的概率为0 55 发1的概率为0 45 由于信道中存在干扰 在发0的时候 接收端分别以概率0 9 0 05和0 05接收为0 1和 不清 在发1的时候 接收端分别以概率0 85 0 05和0 1接收为1 0和 不清 现接收端接收到一个 1 的信号 问发端发的是0的概率是多少 0 067 解 设A 发射端发射0 B 接收端接收到一个 1 的信号 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的验前概率和验后概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 1981年3月30日 一个大学退学学生Hinckley企图对里根总统行刺 他打伤了里根 里根的新闻秘书 以及两个保安人员 在1982年审判他时 Hinckley以精神病为理由作为他无罪的辩护 在18个医师中作证的那位医师是DanielR Weinberger 他告诉法院当被诊断为精神分裂症的人给以CAT扫描 计算机辅助层析扫描 时 扫描显示30 的案例为脑萎缩 而只有2 正常人的扫描显示脑萎缩 请思考下面的一个实际中的问题 Hinckley的辩护律师试图拿Hinckley的CAT扫描作为证据 辩护人争辩说因为Hinckley的扫描展示了脑萎缩 因而他患有精神病的可能性更大些 在美国精神分裂症的发病率大约为1 5 请对Hinckley是否患有精神病作出你的判断 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用 同学们可通过进一步的练习去掌握它们 值得一提的是 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法 叫作 贝叶斯统计 可见贝叶斯公式的影响 条件概率 三大公式小结 缩减 样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 。