34垂径定理—知识讲解提高.pdf

垂径定理一知识讲解 (提高) 【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3?学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题. 【要点梳理】 知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即直径 垂直于菇(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：(1)平分弦 (该弦不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧(4 )圆的两条平行弦所夹的弧相等? 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论?(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径 ) 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，O O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为的半径是 _ E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O O 【答案】【解析】【点评】举一反三 : .5. 作OM丄AB于M、ON丄CD于N，连结OA , ? AB=CD , CE=1 , ED=3 , ? OM=EN=1 , AM=2 , ?- 0A= . 22+12= 、5 . 对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算题?（配合勾股定理）问【变式1】如图所示，O 0两弦AB CD垂直相交于H, AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点MO HN O分别作OML AB于M ONL CD于N,则四边形1 CN CH CD CH 2 1 -(CH 2 1 BM - AB 2 DH ) CH -(BH AH ) 2 1 -(3 8) 3 2.5 , 2 1 -(4 6) 5, 2 OB . BM 2 OM 2 5 . 5 2 【变式2】（2015春？安岳县月考）如图，O O直径AB和弦CD相交于点E, AE=2 , EB=6 , / DEB=30 求弦CD长. 在Rt BOM中, 【答案与解析】解：过O作OF丄CD，交CD于点F,连接0D, ? F为CD的中点，即CF=DF , ?/ AE=2 , EB=6 , ?AB=AE+EB=2+6=8 , ?OA=4 , ?OE=OA - AE=4 - 2=2, 在Rt OEF 中，/ DEB=30 ?OF=-DE=1 , 在Rt ODF 中，OF=1 , OD=4 , 根据勾股定理得：DF= | = -= | 口，则CD=2DF=2 I!- 已知：O 0的半径为10cm 弦AB/ CD AB=12cm CD=16cm求AB CD间的距离. 【思路点拨】在O 0中，两平行弦AE、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AE、CD的弦心距 , 则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB CD间的距离. 【答案与解析】如图1,当O 0的圆心0位于AB CD之间时，作0M丄AB于点M, 并延长M0交CD于N点.分别连结AO C0. ?/ AB/ CD ? 0NL CD即ON为弦CD的弦心距. / AB=12cm CD=16cm A0=0C=10cm .AM二丄CD=8cm 2 2 MN=MO+NO=J103 - h -於=8+6 =14(cm)图1 图2 D(2) 如图2所示，当O 0的圆心0不在两平行弦AB CD之间(即弦AB CD在圆心0的同侧)时, 同理可得：MN=0M-0N=8-6=2(cm)?O O中，平行弦AB CD间的距离是14cm或2cm. 【点评】 解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解举一反三 : 【变式】在O 0中，直径MNLAB,垂足为C, MN=10 AB=8,则MC= _ :【答案】2或& 类型二、垂径定理的综合应用3.（2015?普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心0处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得 / OAB=45 在AB延长线上的C处测得 / OCA=30 已知BC=50米，求人工湖的半径 .（结果保留根号）【答案与解析】解：过点0作0D丄AC于点D，则AD=BD , ?/ / OAB=45 ? AD=OD , ? 设AD=x，贝V OD=x , 0A= J； Fx, CD=x+BC=x+50 . ?/ / OCA=30 ,解得x= 25.3 25 , ? 0A=x= ：:x ( 25.3 25 ) = ( 25 6 25 ? 2 )(米). 答：人工湖的半径为（25,6 25 一2 ）米. 【点评】 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键. C4. 不过圆心的直线I交O 0于C、D两点，AB是O 0的直径，AE丄I于E, BF丄I于F. （1）在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；（2）请你观察（1）中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（0A= 0B除外）（不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论 . 3 CD= 3 ，即图【答案与解析】(1)如图所示 , AB CD延长线交于O 0外一点 ; AB CD交于O 0内一点；AB/ CD在三个图形中均有结论：线段EC= DF. 证明：过0作OGL I于G.由垂径定理知CG= GD ?/ AE 丄I 于E, BFL I 于F, ? AE / OG/ BF. ?/ AB为直径，?AO = 0B ?EG = GF, ?EC = EG- CG= GFGD= DF. 在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形图在图中在图中在图中【点评】。