2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：11.1随机事件与古典概型含解析.docx

专题十一　概率与统计【真题典例】11.1　随机事件与古典概型挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.事件与概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式2016北京,16互斥事件的概率加法公式抽样方法,相互独立事件的概率,平均数★★☆2.古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率2018北京,17古典概型的应用方差,二项分布★★★2012北京,17方差分析解读　　本节在高考中单独命题时,通常以选择题、填空题的形式出现,分值约为5分,属中低档题.随机事件,古典概型与随机变量的分布列,期望与方差等综合在一起考查时一般以解答题形式出现,分值约为13分,属中档题.破考点【考点集训】考点一　事件与概率1.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3答案　D　2.近年来共享单车在我国主要城市发展迅速.目前市场上有多种类型的共享单车,有关部门对其中三种品牌共享单车(M、Y、F)进行统计(统计对象年龄在15~55岁),相关数据如表1,表2所示.三种品牌共享单车使用人群年龄所占百分比(表1)　　　　　　品牌年龄分组　　　　　MYF[15,25)25%20%35%[25,35)50%55%25%[35,45)20%20%20%[45,55]5%a%20% 不同性别选择共享单车种类情况统计(表2)性别使用单车种类数(种)男女120%50%235%40%345%10%(1)根据表1估算出使用Y品牌共享单车人群的平均年龄;(2)若从统计对象中随机选取男女各一人,试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率;(3)有一个年龄在25~35岁之间的共享单车用户,他使用Y品牌共享单车出行的概率最大,使用F品牌共享单车出行的概率最小.试问此说法是否正确?(只需写出结论)解析　(1)a=5.由表1知使用Y品牌共享单车人群的平均年龄的估计值为20×20%+30×55%+40×20%+50×5%=31.答:使用Y品牌共享单车人群的平均年龄约为31岁.(2)设事件Ai为“男性选择i种共享单车”,i=1,2,3,设事件Bi为“女性选择i种共享单车”,i=1,2,3,设事件E为“男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数”.由题意知,E=A2B1∪A3B1∪A3B2,因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58.答:男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为0.58.(3)此说法不正确.思路分析　(1)先利用表格中的相关数据求出a,再利用均值公式得出结果;(2)把所求事件分解成几个互斥事件,利用互斥事件概率的加法公式求概率;(3)利用概率的定义判断正误.方法点拨　求随机事件的概率时,要抓住事件之间的关系,把所求事件进行分解,利用概率的加法公式和乘法公式求概率.考点二　古典概型3.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是　(　　)A.112　　　　B.114　　　　C.115　　　　D.118答案　C　4.某校高三年级共有学生195人,其中女生105人,男生90人.现采用按性别分层抽样的方法,从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择为“同意”“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.同意不同意合计女学生4男学生2(1)完成上述统计表;(2)根据上表的数据估计高三年级学生对该项问题选择“同意”的人数;(3)从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈,求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率.解析　(1)统计表如下:同意不同意合计女学生437男学生426(2)估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数为47×105+46×90=60+60=120.(3)设选择“同意”的4名女生分别为A1,A2,A3,A4,选择“不同意”的3名女生分别为B1,B2,B3.从7人中随机选出2人的情况有A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2,A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3,共21种.其中2人都选择“不同意”的情况有B1B2,B1B3,B2B3,共3种.设“2名女生中至少有一人选择‘同意’”为事件M,所以P(M)=1-321=67.炼技法【方法集训】方法1　随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略1.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)A.15　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.45答案　C　2.(2016课标Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保　费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数01234≥5概　率0.300.150.200.200.100.05(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析　(1)设A表示事件:“该续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)设B表示事件:“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=0.150.55=311.因此所求概率为311.(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)易错警示　对条件概率的定义理解不到位,或者不会运用条件概率的求解公式,导致出错.评析本题考查了随机事件的概率,同时考查了考生的应用意识及数据处理能力,属中档题.方法2　古典概型的求解方法3.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. 答案　564.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是　　　　. 答案　12过专题【五年高考】A组　自主命题·北京卷题组1.(2018北京,17,12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.解析　(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率是502 000=0.025.(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.故所求概率为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意知:P(A)估计为0.25,P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6.2.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数;(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解析　(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18, j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C。