中考数学函数与几何综合题的解题策略初探.docx

中考数学函数与几何综合题的解题策略初探函数与几何是初中数学中的重点内容 ，是中考命题重点考查的内容之一函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化； 由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法， 因而成为近几年各地中考的一类热门试题 将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是今年中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势函数知识与几何知识有机结合的综合题， 根据构成命题的主要要素可分为以下两类： 一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为 几函”问题），这类问题的特点是： 根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量 与函数所表示的几何元素间的等量关系， 求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆） （这类问题不妨简称为 函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题本文特从 2009年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。

1 2009年中考函数与几何综合题解读1. 1几何元素间的函数关系的问题2. 1. 1线段与线段之间的函数关系由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形 的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线 段成比例定理及其推论、 相似三角形的性质、 圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几 何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来， 并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围例1. （2009年襄樊市）如图1,在梯形ABCD中，AD // BC, AD 2, BC 4,点M是AD的中点，z\MBC是等边三角形.（1）求证：梯形 ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别段BC和MC上运动，且/ MPQ 60保持不变.设 PC x, MQ y,求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四 边形的个数；②当y取最小值时，判断 APQC的形状，并说明理由.（1）证明：.. z\MBC 是等边三角形，MB MC, / MBC / MCB 60 o / M是AD中点，•. AM MDAD // BC , /AMB /MBC 60/DMC /MCB 60 , AAMB^A DMC ,，AB DC。

梯形 ABCD 是等腰 梯形.(2)解：在等边zXMBC中，MB MC BC 4,/MBC/MCB60 , / MPQ 60・•・ / BMP / BPMZQPC120，.二 / BMP / QPC△BMPsz\CQPPCBM1 2 —x x4CQBP43）解：①当BP 1 时,则有PC x, MQ y BP 4 x, QC 4 y ,BP2AM, BPXMD ,则四边形 ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，， MQ当BP 3时,则有PC. AM,PC MD则四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形，，MQ.,当 BP 1,MQ1—1 1413 或 BP413o43, MQ13 ,, 一一时，以 P、M 和 A、B、C、4D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有4个.1②APQC为直角三角形 y 1 x43,「•当y取最小值时，xPC 2P是BC的中点，MP BC,而/MPQ60••• / CPQ 30，.一 / PQC90 1. 1. 2面积与线段间的函数关系解决此类问题注意到以下两点：（ 1）常见图形的面积公式，（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积， 将同底（或等高）的两个三角形的面积之比转化为它们的高（或底）之比，将相似三角形的面积之比转化为相似比（或周长的比、对应边上的高 的比、对应边上的中线的比等）的平方。

例2. （2009年浙江省嘉兴市）如图2,已知A、B是线段MN上的两点，MN 4 , MA 1 ,MB 1 .以A为中心顺时针旋转点 M,以B为中心逆时针旋转点 N,使M、N两点重合成M A B N图2一点C,构成△ ABC,设AB x.（1）求x的取值范围；（2）若^ ABC为直角三角形，求 x的值;（3）探究：△ ABC的最大面积？- , 1 x 3 x 一一解：(1)在4ABC 中，.「AC 1 , AB x , BC 3 x .， ，解得 1 x 2 .1 3 x x（2）①若AC为斜边，则1(3 x)2,即x2 3x 4②若AB为斜边，则(3x)2③若BC为斜边，则(3x)2x2,解得x55 ,满足134 ,, 一，，满足135 、 x 一或x3(3)在^ ABC 中，作 CDAB于 D,设 CD h,△ ABC的面积为S,则S Ixh .2①若点D段AB上,则由 h2.(3x)2h22 2• • (3 x)2 h22x.1h2 1h2,2.2 x hS2h2 3xx2(1h2)9x224xx .8x224x 16 .1 2.2—x h42x26x32(x 2)S2取最大值12从而S取最大值②若点D段MA上,贝U ,(3 x)2 h2,1h2 x同理可得，S1 2, 2—x h 42x2 6x 42(x 2)22(1,2综合①②得，△ ABC的最大面积为建21. 2 函数图像中的几何图形的问题纵观历年各地的中考试题， 几乎无一例外地出现函数中的几何问题， 在解决这类问题时 要灵活运用函数的有关知识， 并注意挖掘题目中的一些隐藏条件， 注意数形结合、数学建模、 分类讨论等数学思想的运用。

1. 2. 1三类基本初等函数中的图形面积问题般情况是将它分割成一些两边解决这类问题时，通常要将坐标系中的图形进行分割,（或三边）在坐标轴上或者两边（或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）等；同 时要注意点到坐标轴的距离与点的坐标间的区别，正确利用点的坐标来表示线段的长度例3.已知二次函数y x2 ax a 2(1)求证：不论a为何实数，此函数图象与 x轴总有两个交点2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 JT3时，求出此二次函数的解析式3)若此二次函数图象与 x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点 P,使得△PAB的面积为3*13 ,若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由 2解(1)因为^=22 4(a 2) (a 2)2 4 0所以不论a为何实数，此函数图象与 x轴总有两个交点 2(2)设 xi、x2 是 y x ax a 2 0 的两个根，贝 U xi x a, xi?x2 a 2,因两交点的距离是13,所以 |x1 x2| J(x1 x2)2 J13即：(x1 x2)2 13,变形为：(x1 x2)2 4x1 ?x2 13 ,所以：(a)2 4(a 2) 13 ,整理得：(a 5)(a 1) 0,解方程得:a 5或 1。

又因为：a<0,所以：a=—1所以：此二次函数的解析式为 y x2 x 33)设点P的坐标为(x0,y)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等号. 13 | y0 | .132 2所以：AB=*"3所以:c 1 .13Sapab = - AB? | y0 | ——，所以:2 2即：1 y 1 3,则 yO 32当 y 3 时，x x 3 3,即(x0 3)(x 2) 0,解此方程得：x0= —2或 32当y0 3时，x0 xo 3 3,即x0(x1) 0,解此方程得：x0 =0或1综上所述，所以存在这样的 P点，P点坐标是(—2,3), (3,3), (0, -3)或(1, —3)1. 2. 2三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题这类题目一般由1~3问组成，第一问往往是求函数的解析式， 然后在此基础上再与几何中的三角形(全等、相似或特殊三角形是否存在等问题)四边形(面积的函数关系式、特殊 四边形是否存在)和圆(直线与圆的位置关系的判断、圆中的比例式是否成立)结合起来， 利用初中的主干知识全面考查学生综合运用所学知识解决问题的能力例4. (2009年广东广州)如图4,二次函数y x2 px q(p 0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0,一 .5面积为一。

4(1)求该二次函数的关系式；(2)过y轴上的一点 M (0, m)作y轴的垂线，若该垂线与A ABC的外接圆有公共点， 求m的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由解：(1 ) OC=1,所以，q=-1,又由面积知 0.5OC x AB=刍，得 AB=勺， 设 A4 2 ---O 5 3 3(a,0) ,B(b,0)AB=b a= J(a b)2 4ab =—，解得 p=—,但 p<0,所以 p=—所以解2 2 23析式为：y x - x 12人 .、… 2 3 /八1 - , 1(2)令 y=0,解万程得 X —X 1 0,得 x1 一，X2 2,所以 A( - ,0),B(2,0),2 2 25在直角二角形AOC中可求得AC=汽-,同样可求得BC= V5 ,,显然AC2+BC2=AB2,得三角形 5 5 5ABC是直角三角形AB为斜边，所以外接圆的直径为 AB= 一，所以 一 m 一 .2 4 4(3)存在，ACLBC,①若以AC为底边，则 BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为 y=-2x+b ,把B(2,0)代入得 BD解析式为 y=-2x+4 ,解方程组2 3y x - x 1 ,口 52 仔 D ( — ,9)y 2x 4 2②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1，可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A( 2 ,0)代入得 AD 解析式为y=0.5x+0.25 ,解方程组2 3 /y x x 1 5 32 得 D(一,一)八 — 2 2y 0.5x 0.25 5 5 3综上，所以存在两点：( 一 ,9)或(一，一)。

2 2 22函数与几何综合题的解题策略函几问题”与几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、 纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、 探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功， 能从已知所提供的信。