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-学年高中数学 第一章《集合的基本运算》讲解与例题 北师大版必修1.doc

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    • 3 集合的基本运算1.交集(1)交集的三种语言文字语言由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合叫作A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B={x|x∈A,且x∈B}图形语言谈重点 如何理解“交集”的定义(1)由于“A∩B”是由集合A,B的所有公共元素组成的集合,故求“A∩B”的关键是找出它们的公共元素.(2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为“A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素”,同时还有“A与B的公共元素都属于A∩B”的含义,这就是交集文字定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.例如:集合{1,2,3}不是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的交集.因为,虽然{1,2,3}中的任意一个元素都是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的公共元素,但是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的公共元素4却不在集合{1,2,3}中.(3)并不是任何两个集合总有公共元素,当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=.对于A∩B=存在以下三种情况:集合A,B均为空集;集合A,B中有一个是空集;集合A,B均为非空集,但无公共元素.(4)求集合的交集是集合的基本运算,两个集合经过交集运算后仍是一个集合.(5)根据交集的定义,多元方程组的解集则可以看作是组成方程组的各个方程解集的交集;不等式组的解集可以看作是组成不等式组的各个不等式解集的交集.例如:方程x+y=0的解集为集合A,方程x-y=2的解集为集合B,则方程组的解集就是集合A与集合B的交集.(2)不同情形的交集的Venn图表示        AB时,A∩B=A  BA时,A∩B=B A=B时,A∩B=A=B      A与B有公共元素,但互不包含时, A与B无公共元素时,A∩B为图中阴影部分 A∩B=(2)交集的运算性质①A∩B=B∩A,即两个集合的交集满足交换律(由交集的定义可得);②A∩BA,A∩BB,即两个集合的交集是其中任一集合的子集;③A∩A=A,A∩=,即一个集合与其本身的交集是其本身,与空集的交集是空集;④ABA∩B=A,即若集合A是集合B的子集,则两个集合的交集是集合A,反之亦成立.⑤(A∩B)∩C=A∩(B∩C),即三个集合的交集满足结合律.以上性质可通过Venn图来理解和记忆.【例1-1】已知A={x∈N|x≤5},B={x∈N|x>1},则A∩B等于(  ).A.{1,2,3,4,5}   B.{2,3,4}C.{2,3,4,5} D.{x∈R|1<x≤5}解析:集合A表示小于或等于5的自然数组成的集合,集合B表示大于1的自然数组成的集合,故A∩B={2,3,4,5}.答案:C【例1-2】已知集合M={x|1+x>0},,则M∩N等于(  ).A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>1}C.{x|-1<x<1} D.{x|x≥-1}解析:M={x|1+x>0}={x|x>-1},={x|x<1}.在数轴上画出集合M和N,根据交集的定义,可得M∩N={x|-1<x<1},即图中阴影部分.答案:C析规律 求交集的方法用列举法表示的数集在求交集时,可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素;用描述法表示的数集在求交集时,如果集合是无限集,且直接观察不出或不易得出运算结果,则应把两个集合在数轴上表示出来,根据交集的定义写出结果.此时要注意:①交集是公共部分;②当端点不在集合中时,在数轴上用“空心圈”表示.【例1-3】已知集合A={2,a-1},B={a2-7,-1},且A∩B={2},求实数a的值.分析:由A∩B={2}可知,2是集合A与B的公共元素,也就是说,元素2既在集合A中又在集合B中,于是可得a2-7=2且a-1≠2,由此即可求出实数a的值.解:∵A∩B={2},∴2∈A且2∈B.∴a2-7=2.∴a=3或a=-3.当a=3时,集合A中的元素a-1=2,不符合集合中元素的互异性,∴a=3舍去.当a=-3时,A={2,-4},B={2,-1},符合已知A∩B={2}.综上所述,a=-3.2.并集(1)并集的三种语言文字语言由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”).符号语言A∪B={x|x∈A,或x∈B}图形语言如何理解“并集”的概念(1)“或”的内涵:并集中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的,生活用语中的“或”是“非此即彼”只取其一,并不兼存;而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”,可兼有.即“x∈A,或x∈B”包含三种情形:x∈A,但xB;x∈B,但xA;x∈A,且x∈B.所以,要求“A∪B”只需把集合A,B的元素合在一起即可.(2)当元素a是集合A,B的公共元素时,由集合中元素的互异性知,集合A与B的并集中仅有一个元素a,不能有两个相同的元素a.即相同的元素在并集中只能出现一次.例如:A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A∪B={1,2,3,4,5,6},而不能写成{1,2,3,4,3,4,5,6}.(2)不同情形的并集的Venn图表示        AB时,A∪B=B BA时,A∪B=A A=B时,A∪B=A=B     A与B有公共元素,但互不包含时, A∪B为图中阴影部分A与B无公共元素时, A∪B为图中阴影部分(3)并集的运算性质①A∪B=B∪A,即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得).②AA∪B,BA∪B,即一个集合是其与任一集合并集的子集.③A∪A=A,A∪=A,即一个集合与其本身的并集是其本身,与空集的并集也是其本身.④(A∪B)∪C=A∪(B∪C),即三个集合的并集满足结合律.⑤A∩BA∪B,这是两个集合的交与并之间的关系,即两个集合的交集是这两个集合并集的子集.⑥A∪B=AAB,这是集合的并集运算与子集的转化,即,若集合A与B的并集为集合A,则集合B是集合A的子集,反之亦成立.以上性质可通过Venn图来理解和记忆.【例2-1】满足条件{1,3}∪B={1,3,5}的所有集合B的个数是(  ).A.1 B.2C.3 D.4解析:由条件{1,3}∪B={1,3,5},根据并集的定义可知5∈B,而1,3是否在集合B中不确定.所以B可能为{5},{1,5},{3,5},{1,3,5},故B的个数为4.答案:D【例2-2】已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B等于(  ).A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2}C.{x|0<x≤2} D.{x|-1≤x≤2}解析:集合A,B都是用描述法表示的无限数集,可借助数轴的直观性,把集合A和B在数轴上表示出来,再根据并集的定义求出A∪B,易知A∪B={x|x≥-1},即图中阴影部分.答案:A【例2-3】已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是________.解析:由并集的运算性质A∪B=AAB可知,集合B是集合A的子集,把集合A和B在数轴上表示出来可得m+1≥2m-1或解得m≤2或2<m≤4,即m≤4,故实数m的取值范围是{m|m≤4}.答案:{m|m≤4}3.全集与补集(1)全集在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.例如,我们要分别统计A班男同学和女同学的数学成绩,A班的全体同学的数学成绩便是一个全集,同样地,我们把分析对象扩展到整个年级,则全年级同学的数学成绩便是一个全集.谈重点 如何理解“全集”的概念1.全集是一个相对的概念,不同的问题中全集可能不同,这要看题目具体的规定.如,当研究数的运算性质时,常常将R当作全集.2.画Venn图时,常用一个矩形的内部表示全集,有时也用椭圆表示.(2)补集设U是全集,A是U的一个子集(即AU),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集(或余集).记作,即={x|x∈U,且xA}.用Venn图可表示为(阴影部分):谈重点 如何理解“补集”的概念(1)若从全集U中取出集合A的全部元素,则所有剩余元素组成的集合即.(2)补集运算具有相对性,求集合A的补集时,要先清楚全集是什么,同一集合在不同全集中的补集也不同.(3)表示以U为全集时A的补集,如果全集换成其他集合(如R)时,则记号中“U”也必须换成相应的集合(即).(4)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集.(3)补集的运算性质①A∪()=U,A∩()=;②=U,U=,()=A;③(A∩B)=()∪(),(A∪B)=()∩(),即补的并等于交的补,补的交等于并的补;利用此性质解题,可以减少计算量.【例3-1】已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩()等于(  ).A.{1,5,7} B.{3,5,7}C.{1,3,9} D.{1,2,3}解析:符号N表示自然数集,由B={0,3,6,9,12}知中的元素有1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,15,…,其与集合A的公共元素有1,5,7,所以A∩()={1,5,7},选A.答案:A析规律 集合运算时括号优先对于集合的交、并、补混合运算,要注意运算顺序,有括号的先算括号里面的.【例3-2】设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则()∩()等于(  ).A.{1} B.{5}C.{2,4} D.{1,2,4,5}解析:按照运算顺序,可先计算={2,4,5}和={1,5},再计算()∩()={5};也可由()∩()=(A∪B),先计算A∪B={1,2,3,4},再求(A∪B)={5}.答案:B【例3-3】设全集U={3,a,a2+2a-3},A={2,3},={5},则a的值为________.解析:∵={5},∴5A,5∈U.当a=5时,U={3,5,32}不合题意;当a2+2a-3=5时,a=2或a=-4,经检验,a=-4不符合题意,舍去,∴a的值为2.答案:24.利用集合运算的两条性质求参数的值或范围在集合的交、并集运算中,有两条重要的性质,即A∩B=AAB和A∪B=AAB.利用这两条性质可以把有关集合的交、并集运算的问题转化为两个集合间的关系问题.利用这两条性质解题时要注意以下两点:(1)当转化为与不等式相关的子集问题时,画数轴可使问题变得形象直观,既易于理解,又提高解题速度.这里要特别注意的是端点值的取舍问题,一般是把端点值代入题目中验证.例如:已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∪B=B,求实数a的取值范围.由A∪B=B可知,集合A与B的关系是AB,在数轴上表示出集合A和B,根据题意有下面两种可能:借助数轴的直观性可得a+3<-1或a>5,这里要特别注意的是a+3能否等于-1和a能否等于5两个端点值的取舍问题.于是可得实数a的取值范围是a<-4或a>5.(2)当转化为与方程有关的子集问题时,若BA,特别容易出现的错误是遗漏了B=的情形,其原因是对BA的理解。

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