2022年山西省阳泉市东关中学高二数学文联考试卷含解析.docx

2022年山西省阳泉市东关中学高二数学文联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的准线方程是（ ） A． B． C． D．参考答案：B2. 已知（1）若求的范围；（2）求在上的值域参考答案：略3. 已知命题，命题.则下列命题为真命题的是（ ）A． B． C． D．参考答案：B4. 设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为A．2，6 B．4，8 C．6，8 D．8，12参考答案：B5. 定义运算则符合条件的复数z对应的点在( ) A．第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限参考答案：D6. 已知，，则的值为（ ）A. 10 B. 7 C. 3 D. 6参考答案：A由题意得 7. 已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2ex的解集是（　　）A．（2，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，2）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案．【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵f（0）=2，∴g（0）=2，∵不等式f（x）＞2ex，∴g（x）＞2=g（0），∴x＞0，故选：B．【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．8. 在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为（ ） A．(-1,2,3) B．(1,-2,-3) C．(-1, -2, 3) D．(-1 ,2, -3)参考答案：B9. 函数，的图象大致是　　A. B. C. D. 参考答案：D∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=时函数取极值，排除C，故选：D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．10. 为研究变量的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利回线性回归方法得到回归直线方程，两人计算知相同，也相同，下列正确的是 （ ） A．重合 B．一定平行 C． D．无法判断是否相交参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数满足不等式组, 则的取值范围是________. 参考答案： 12. 在△ABC中，，则边的值为 ．参考答案：13. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为 .参考答案： 14. 已知幂函数的图象过点，则的值为 ▲ .参考答案：1设，其图像过点，则有，解得，即，所以，则.15. 在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别段 和 上,且, 则 的最小值为 . 参考答案：16. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为　 　．参考答案：y=2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=x的距离等于实轴长，∴=2a，∴b=2a，即有双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线的求法，通过a，b，c的比例关系，可以求渐近线方程，也可以求离心率．17. 已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足，则长轴长的取值范围是______．参考答案：【分析】将用表示出来，然后根据的范围求解即可得到结论．【详解】∵b＝1，∴，又，∴，∴，整理得，解得．∴，∴长轴长的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用和间的关系，属于基础题．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值．参考答案：解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以， ……………1分又椭圆的离心率为，即，所以， ………………2分所以，. ………………4分所以，椭圆的方程为. ………………5分（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得， ………………6分设，，因为，所以， …………7分同理可得， ………………8分所以，， ………………10分， ………………12分设，则， ………………13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. ………………14分方法二：不妨设直线的方程.由消去得， ………………6分设，，则有，. ① ………………7分因为以为直径的圆过点，所以.由，得. ………………8分将代入上式，得.将 ① 代入上式，解得或（舍）. ………………10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以. ……………12分设，则.所以当时，取得最大值. ……………14分(1)由题意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.（2）以AB为直径的圆过右顶点C，实质是,然后用坐标表示出来，再通过直线l的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数，然后利用函数的方法求最值.（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，∴， 又椭圆的离心率为，即，所以，∴，. ………… 3分∴，椭圆的方程为.……4分（Ⅱ）由直线的方程.联立消去得，………… 5分设，，则有，. ① ……… 6分因为以为直径的圆过点，所以.由，得.…………… 7分将代入上式，得.将 ① 代入上式，解得或（舍）. ……… 8分所以,记直线与轴交点为，则点坐标为，所以设，则.所以当时，取得最大值为19. 设命题p:不等式的解集是;命题q:不等式的解集是,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.参考答案：略20. 已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用导数求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f（0）=1﹣a，∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=20+b，解得b=1；（Ⅱ）由题意f（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）减函数极小值增函数∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2当时，方程（*）不成立则，令，则由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：xp（x）﹣﹣0+p′（x）单调递减单调递减极小值单调递增∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；当时，方程（*）若有两个解，则所以，．21. 椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且（m∈R）．（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．参考答案：(1)，；(2)证明见解析，．试题解析：（1）由=及解得a2=4，b2=3，椭圆方程为；设A（x1,y1）、B（x2,y2）， 由得（x1+x2-2，y1+y2-3）=m（1，），即又，，两式相减得;（2）由（1）知，点A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐标满足，点P的坐标为（1，）, m=-3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．∵x1+x2=-1，y1+y2=-，∴AB中点坐标为（，），又，，两式相减得;∴直线AB的方程为y+=（x+）,即x+2y+2=0．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到向量的运算、直线与圆锥曲线的点差法的应用、直线的斜率公式和直线方程的求解，解答中合理运用椭圆的方程及其简单的几何性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题。