专题01一元二次方程（考点归纳+知识梳理+真题训练）-2025年新九年级数学提升讲义【答案】.pdf

试卷第 1 页，共 15 页专题专题 01 一元二次方程一元二次方程【考点【考点 01】一元二次方程的相关概念】一元二次方程的相关概念【考点【考点 02】一元二次方程的解】一元二次方程的解【考点【考点 03】解一元二次方程】解一元二次方程【考点【考点 04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况【考点【考点 05】根据一元二次方程根的根的情况求参数】根据一元二次方程根的根的情况求参数【考点【考点 06】一元二次方程根与系数的关系】一元二次方程根与系数的关系【考点【考点 07】变化率问题变化率问题【考点【考点 08】传播问题传播问题【考点【考点 09】树枝分叉问题树枝分叉问题【考点【考点 10】单循环和双循环问题单循环和双循环问题【考点【考点 11】销售利润与一次函数综合问题销售利润与一次函数综合问题【考点【考点 12】销售利润每每问题销售利润每每问题【考点【考点 13】几何图形问题几何图形问题【考点【考点 14】几何中动点问题几何中动点问题知识点知识点 1：一元二次方程的概念：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程 知识点知识点 2：一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax+bx+c=0（a0），其中 ax叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数；c 叫作常数项知识点知识点 3：一元二次方程的解：一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解试卷第 2 页，共 15 页知识点知识点 4：一元二次方程的重要结论一元二次方程的重要结论（1）若 a+b+c=0，则一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）必有一根为 x=1；若 x=1 是一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的一个根，则 a+b+c=0（2）若 a-b+c=0，则一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）必有一根为 x=-1；若 x=11 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的一个根，则 a-b+c=0知识点知识点 5：解一元二次方程解一元二次方程1直接开方直接开方（1）如20 xp p=或20nxmp p+=的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程；（2）如果化成2xp=的形式，那么可得xp=；（3）如果方程能化成20nxmp p+=的形式，那么nxmp+=，进而得出方程的根2配方法配方法用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0（k0）的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+a）2=b 的形式；如果 b0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果 b0，则原方程无解总结：总结：3公式法公式法用公式法求一元二次方程的一般步骤：用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式20axbxc+=，确定a，b，c的值（注意符号）（2）求出判别式240bacD=-的值，判断根的情况；（3）在240bacD=-（注：此处D读德尔塔）的前提下，把a，b，c的值代入公式2422-D-=bbbacxaa进行计算，求出方程的根试卷第 3 页，共 15 页4因式分解因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零零；（4）两个因式分别为零的解两个因式分别为零的解就都是原方程的解如：200 xpq xpqxpxq+=+=因式分解后知识点知识点 6：一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式根的判别式：240bac-时，方程有两个不相等两个不相等的实数根；240bac-=时，方程有两个相等两个相等的实数根；240bac-D0k【考点【考点 02】一元二次方程的解】一元二次方程的解（24-25 九年级上四川眉山期末）5关于 x 的一元二次方程20 xaxb+=，若10ab-+=则方程必有一根为（）A1B1-C0D2（24-25 九年级上福建漳州期中）6若一元二次方程有一个根是1x=，则这个方程可以是（）A120 xx+=B210 x-=C2210 xx-=D20 xx+=（24-25 八年级下浙江温州期中）7根据下列表格的对应值，判断方程20axbxc+=（0a，a，b，c为常数）一个解的范围是（）x3.13.23.33.42axbxc+1.3-0.6-0.3-0.5A33.1xB3.13.2xC3.23.3xD3.33.4x（24-25 九年级上江苏扬州期末）8已知m是方程23210 xx+-=的一个根，则代数式2322024mm+的值为 【考点【考点 03】解一元二次方程】解一元二次方程（24-25 八年级下浙江杭州阶段练习）9解方程：(1)22510 xx-+=(2)21210 xx-=（24-25 八年级下山东济南阶段练习）试卷第 6 页，共 15 页10解方程：(1)2650 xx-+=(2)2320 xx-=（2025 八年级下江苏南通专题练习）11解方程：(1)2470 xx-；(2)32142xxx+=+（24-25 八年级下湖南长沙阶段练习）12解方程：(1)2660 xx-=；(2)22150 xx-=【考点【考点 04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况（2025江苏三模）13关于 x 的一元二次方程2420 xx+-=中，则该一元二次方程根的情况为（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法判断（2025河南商丘模拟预测）14若2x=是方程230 xxm-+=的一个根，则此方程的根的情况是（）A有一个实数根B有两个相等的实数根C有两个不相等的实数根D0m D1a）(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2104cm？若存在，请求出此时 t 的值；试卷第 15 页，共 15 页若不存在，请说明理由（24-25 九年级上内蒙古赤峰期末）54如图，在ABCV中，90,12mm,24mmBABBC=动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果,P Q两点分别从,A B两点同时出发(1)写出PBQV的面积S关于t的函数解析式及t的取值范围，并求出当t为何值时，S最大；(2)经过几秒，PBQV的面积为232mm；(3)出发几秒后，PQ的长度等于12mm？（24-25 九年级上全国期末）55在矩形ABCD中，7cmAB=，3cmBC=，点 P 从点 A 开始沿AB边以3cm/s的速度移动，点 Q 从点 C 开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中有一点到达点 B 或点 D 时，另一点也随之停止运动设运动时间为 t（s）(1)当 t 为何值时，点 P、Q 之间的距离为5cm；(2)连接PD、PQ，当 t 为何值时，DPQV为直角三角形答案第 1 页，共 24 页1C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程【详解】解：A分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；B0a=时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C是一元二次方程，故该选项符合题意；D含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；故选：C2D【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项将方程转化为一般式后，进行判断即可【详解】解：2342xx-=-23240 xx+-=a，b，c的值分别为 3，2，4-故选：D3D【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为200axbxca+=的形式即可【详解】解：232xx-=，2320 xx-=；故选 D4B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如200axbxca+=的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键【详解】解：关于x的方程22310kxx-+-=是一元二次方程，20k-，2k，故选：B5B【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可答案第 2 页，共 24 页【详解】解：20 xaxb+=，且10ab-+=，方程必有一根为1x=-；故选 B6B【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解根据一元二次方程的解的定义判断即可【详解】解：A、当1x=时，1 1 120+，则1x=不是方程120 xx+=的根，本选项不符合题意；B、当1x=时，2110-=，则1x=是方程210 x-=的根，本选项符合题意；C、当1x=时，212 10-，则1x=不是方程2210 xx-=的根，本选项不符合题意；D、当1x=时，2110+，则1x=不是方程20 xx+=的根，本选项不符合题意；故选：B7D【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个x的值，使2axbxc+的符号为一正一负，即可得出结果【详解】解：由表格可知：当3.3x=时，20.30axbxc+=-，当3.33.4x时，必然存在一个x，使20axbxc+=，20axbxc+=（0a，a，b，c为常数）一个解的范围是3.33.4，5172 2x-=，15174x+=，25174x-=；（2）解：21210 xx-=，11 20 xx-=，即130 xx-=，10 x-=或30 x-=，11x=，23x=10(1)11x=，25x=；(2)3172x=【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键（1）利用因式分解法即可求解；（2）利用公式法即可求解；【详解】（1）解：2650 xx-+=分解因式得，150 xx-=，10 x-=或50 x-=，11x=，25x=；（2）解：2320 xx-=2(3)4 1(2)170D=-=3172x=答案第 4 页，共 24 页11(1)1211x=+，2211x=-(2)112x=-，223x=【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键（1）利用配方法求解即可（2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可【详解】（1）解：2470 xx-，247xx-=，24411xx-+=，2211x-=，211x-=，1211x=+，2211x=-；（2）32142xxx+=+，3212 210 xxx+-+=，21 320 xx+-=，210 x+=或320 x-=，112x=-，223x=12(1)12315315xx=-=+，(2)12532xx=-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此解方程即可；（2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可【详解】（1）解：2660 xx-=266xx-=答案第 5 页，共 24 页26915xx-+=2315x-=315x-=，解得12315315xx=-=+，；（2）解：22150 xx-=2530 xx+-=250 x+=或30 x-=，解得12532xx=-=，13A【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程200+=axbxca的根与24bacD=-有如下关系：当0D 时，方程有两个不相等的实数根；当0D=时，方程有两个相等的实数根；当0D，方程有两个不相等的实数根故选：A14C【分析】本题考查了一元二次方程。