-学年高二文数人教版选修1-1（第01章） Word版含解析.doc

第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1．命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_______叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.在本章中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.注意：（1）一个数学命题要么是真命题，要么是假命题，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.数学中的定义、定理、公理都是真命题.（2）有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但是随着时间的推移，人们是能够考察清楚的.（3）数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式.关键是分清命题的条件和结论.2．四种命题（1）原命题与逆命题一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”.（2）否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________，我们把这样的两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若，则”.（3）逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题.也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若，则”.注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复.3．四种命题间的相互关系一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系如图所示：一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：（1）两个命题互为逆否命题，它们有________真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________.注意：（1）互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.（2）在四种形式的命题中，真命题的个数只能是0，2，4.K知识参考答案：1．陈述句2．（1）结论和条件 （2）条件的否定和结论的否定 （3）结论的否定和条件的否定3．（1）相同的 （2）没有关系K—重点四种命题及其关系，命题真假的判断K—难点涉及命题真假判断的多选型试题K—易错对于含有大前提的命题，改写时，易忽略大前提一、命题的概念及真假判断判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一，是否是“陈述句”；第二，是否“可以判断真假”，这两个条件缺一不可．疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．命题真假的判断方法：（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.下列语句是命题的序号为________.①风景这边独好； ②求证是无理数；③函数是上的偶函数； ④火星上有水；⑤若，则； ⑥.【答案】③④⑤【解析】①不是命题.因为评价风景好坏的标准不一致，因此不能作出判断.②不是命题.因为它是祈使句，不是陈述句，所以不是命题.③是命题.因为由偶函数的定义可以作出判断，所以是命题.④是命题.因为随着科学技术的发展和时间的推移是可以作出判断的，所以是命题.⑤是命题.因为由不能推出，可以作出判断.⑥不是命题.因为字母的性质不明确，所以不是命题.【名师点睛】本题中的⑤⑥含有字母，对于判断这种含有字母的语句是否为命题时，需注意字母的性质是否明确.若明确，即能判断其真假，则是命题，否则就不是命题. 指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假：（1）若，则成等比数列；（2）正角的正弦值是正数；（3）函数的图象关于y轴对称；（4）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【解析】（1）命题的条件为“”，结论为“成等比数列”，当时，不成等比数列，所以是假命题.（2）写成“若p，则q”的形式为：若一个角是正角，则这个角的正弦值是正数.则该命题的条件为“一个角是正角”，结论为“这个角的正弦值是正数”，由于，所以是假命题.（3）写成“若p，则q”的形式为：若函数为，则其图象关于y轴对称.命题的条件为“函数为”，结论为“该函数的图象关于y轴对称”.由于，所以是偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，是真命题.（4）写成“若p，则q”的形式为：若有两个正数，则它们的算术平均数不小于它们的几何平均数. 命题的条件为“两个正数”，结论为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”. 基本不等式一定成立，而表示两个正数的算术平均数，表示两个正数的几何平均数，所以此命题是真命题.【名师点睛】“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，需要把这个命题补充完整，确定命题的条件和结论.即对于不是“若p，则q”形式的命题，一般先找到条件和结论，然后加上“若”和“则”，即可写成“若p，则q”的形式，从而判断命题的真假.二、四种命题由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论.（1）将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题.（2）将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题.否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词.（3）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题. 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假：①负数小于零.②在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】①原命题：若一个数是负数，则它小于零.是真命题.逆命题：若一个数小于零，则它是负数.是真命题.否命题：若一个数不是负数，则它不小于零.是真命题.逆否命题：若一个数不小于零，则它不是负数.是真命题.②原命题：在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行.是假命题.逆命题：在空间中，若两条直线平行，则它们平行于同一个平面.是假命题.否命题：在空间中，若两条直线不平行于同一个平面，则这两条直线不平行.是假命题.逆否命题：在空间中，若两条直线不平行，则它们不平行于同一个平面.是假命题.【名师点睛】对于①，“小于”的否定是“不小于”，而不是“大于”，因为“不小于”包括了“大于和等于”.三、四种命题间的相互关系由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题较困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题. 已知奇函数是定义在上的增函数，，若，求证：.【解析】若，即.因为是定义在上的增函数，所以.又是奇函数，所以，则，即.则原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题.故若，则.【名师点睛】直接证明本题比较困难，不容易找到思路，转而利用原命题和它的逆否命题有相同的真假性，证明逆否命题为真命题，从而得到原命题为真命题，这是我们所讲的“正难则反”策略，在解题时经常用到，注意掌握.四、由命题的真假性求参数的值对于此类问题，若由已知条件可以得出一个真命题，即可据此建立相应的不等式或方程求解.解题时要善于从条件中寻找解题思路，善于构造性质、定理等运用的条件. （1）已知，求为假命题时的取值范围；（2）已知在上为减函数，求为真命题时的取值范围.【解析】（1）为假命题，则为真命题.由得，解得.故为假命题时的取值范围是.（2）当时，，满足在上为减函数；当时，由已知可得，解得.故为真命题时的取值范围是.【名师点睛】本题把分式不等式的解法、函数的单调性和命题结合起来考查，要注意知识的灵活性.五、改写命题时，忽略大前提 将命题“当时，函数的值随的减小而减小”写成“若，则”的形式，并写出其逆命题、否命题和逆否命题.【错解】“若，则”的形式：若，则函数的值随的减小而减小.逆命题：若函数的值随的减小而减小，则.否命题：若，则函数的值随的不减小而不减小.逆否命题：若函数的值随的不减小而不减小，则. 【错因分析】原命题有两个条件：和减小，其中是大前提，将原命题改写为“若，则”的形式时，要把置于“若”字的前面，把减小作为条件.【正解】“若，则”的形式：当时，若减小，则函数的值也减小.逆命题：当时，若函数的值减小，则也减小.否命题：当时，若不减小，则函数的值也不减小.逆否命题：当时，若函数的值不减小，则也不减小.【名师点睛】（1）有大前提的命题改写成“若，则”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若，则”.（2）对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变.1．命题“若，则”的逆命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．下列语句中是命题的是A．周期函数的和是周期函数吗？B．C．D．梯形是不是平面图形呢？3．以下说法错误的是A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题 C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题4．命题“若，则”的逆否命题为A．若，则或B．若，则或C．若或，则D．若或，则5．给定下列命题：①“若，则方程”有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则中至少有一个为0.其中真命题的序号是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6．已知命题“若直线与平面垂直, 则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是A． B． C． D． 7．命题“若实数满足，则”的否命题是 命题（填“真”或“假”）．8．命题“若且，，则”的条件为__________，结论为__________.9．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围为________.10．写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的。