《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何（电子讲稿）.doc

第六章 向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节 向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作（图61）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，，，或，，．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量和的大小相等，且方向相同，则说向量和是相等的，记为．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量，，的模分别记为，，．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与的模相等而方向相反的向量，称为的负向量，记作．设和为非零向量，在空间中任取一点，作，，规定不超过的（即）称为向量和的夹角（图62），记作或．如果和中有一个为零向量，规定它们的夹角可在与之间任意取值．若或，即向量和的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作//．可认为零向量与任何向量都平行．若，则称向量与垂直，记作．也可认为零向量与任何向量都垂直． 当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条直线上．因此，两向量平行又称两向量共线． 类似还有向量共面的概念，设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量与，任取一点，作，再以B为起点，作，连接，（图63），那么向量称为向量与的和，记作，即．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图64）：当向量与不平行时，平移向量，使与的起点重合，以，为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点的向量等于向量与的和．向量的加法满足下列运算规律： （1）交换律 ； （2）结合律 ． 由于向量的加法符合交换律与结合律，故个向量相加可写成,并按向量相加的三角形法则，可得个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量与的差为（图65）．特别地，当时，有．显然，任给向量及点，有，因此，若把向量与移到同一起点，则从的终点向的终点所引向量便是向量与的差． 由三角形两边之和大于第三边的原理，有 及 ，其中等号在与同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它的模为．当时，向量与的方向相同，当时，向量与的方向相反．当时，，即为零向量，这时它的方向可以是任意的． 特别地，当时，有． 向量与数的乘积运算满足下列运算规律： （1）结合律 ； （2）分配律 ；． 向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1 化简．解 ．●●例2 设在平面上给了一个四边形，点、、、分别是边、、、的中点，求证：．证 如图66所示，连结，则在中，；在中，．所以． 设，则向量是与同方向的单位向量，记为．于是．由向量的数乘运算知向量与平行，因此有如下定理：设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使． 证 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性． 设//．取，当与同向时取正值；当与反向时取负值，即．这是因为此时与同向，且．再证明实数的唯一性．设，又设，两式相减，得，即 ．因，故，即．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点及单位向量确定了数轴，对于数轴上任一点，对应一个向量，由//，根据定理1，必有唯一的实数，使，（实数叫做数轴上有向线段的值），并知与实数一一对应．于是 点 向量 实数，从而数轴上的点与实数有一一对应的关系．据此，定义实数为数轴上点的坐标．由此可知，数轴上点的坐标为的充分必要条件是．三、空间直角坐标系在空间取定一点和3个两两垂直的单位向量，，，就确定了3条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为坐标系或坐标系．通常把轴和轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正向通常符合右手规则，即用右手握住轴，其余四指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指所指的方向为轴的正向，如图67所示．在空间直角坐标系中，任意两个坐标轴可以确定一个平面，这种平面称为坐标面．轴及轴所确定的坐标面叫做面，另两个由轴及轴和轴及轴所确定的坐标面分别叫做面和面．3个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，含有3个正半轴的卦限叫做第一卦限，在面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限．在面的下方，与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向分别是第六卦限、第七卦限和第八卦限．八个卦限分别用字母I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII表示（图68）．设为空间一点，过点作3个平面分别垂直于轴、轴和轴，它们与轴、轴、轴的交点依次为、、（图69），这3点在轴、轴、轴上的坐标依次为，，．于是空间点就唯一地确定了一个有序数组．反之，若已知一个有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，然后通过，，分别作与轴、轴、轴垂直的平面，由这3个平面得到唯一的交点（图69）．用上述方法，我们建立了空间点与三元有序数组之间的一一对应关系．这组数叫做点的坐标，并依次称和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．点通常记作．记，则，设，，，则．上式称为向量的坐标分解式，，，称为向量沿3个坐标轴方向的分向量．有序数称为向量在坐标系中的坐标，记作．向量称为点关于原点的向径．上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标．记号既表示点，又表示向量．究竟何时表示点，何时表示向量要看具体的情况．坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．例如：点在面上，则；类似地，点在面上，则；点在面上，则．如果点在轴上，则；同样，点在轴上，有；点在轴上，有．如果点为原点，则．四、利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：设，，即， ，则加法：；减法：；数乘： （为实数）或 ，，．由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了．由定理1可知：若时，向量相当于（为实数），即也相当于向量的对应坐标成比例，即●●例3 求解以向量为未知元的线性方程组，其中，． 解 如同解二元一次线性方程组，可得．以、的坐标表示式代入，即得，． ●●例4 已知两点和以及实数，在直线上求一点，使．解法1 如图610所示，由于，，因此 ， 从而 ， 这就是点的坐标． 解法2 设所求点为，则 ，．依题意有，即，则有，故，从而 ，，．点叫做有向线段的分点，当时，点是有向线段的中点，其坐标为，，．五、向量的模、方向角、投影1．向量的模与两点间的距离公式设向量，作（图69），则，按勾股定理可得,因为，，，所以，于是得向量模的坐标表示式．设有点，, 则，于是、两点间的距离为．●●例5 求证：以，，为顶点的三角形是直角三角形．证 因为 ，，，所以，，又因为，根据勾股定理可知，是直角三角形．●●例6 设点在轴上，它到点的距离为到点的距离的两倍，求点的坐标．解 因为点在轴上，故可设点的坐标为，则，，由于，即 ，解之得．从而所求点的坐标为或．●●例7 已知两点和，求与方向相同的单位向量．解 因为 , 所以，，从而 ．2．方向角与方向余弦非零向量分别与轴、轴、轴的夹角称为向量的方向角（图611）．称为向量的方向余弦．则．，，．从而．上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与同方向的单位向量，而且有．●●例8 已知两点)和，求向量的模、方向余弦和方向角．解 因为 ，所以 ，从而，即 ，，，;故 ，，．●●例9 设向量与轴和轴的夹角分别为和，而且，如果点的坐标为，求点的坐标．解 设点的坐标为，则的坐标为，又设向量的方向角为、、，由题设可得，，，因为，所以．即 或．由 可得，解之得，由 可得，解之得，由 可得，解之得或．故点的坐标为或．3．向量在轴上的投影设点及单位向量确定轴（图612）．任给向量，作，再过点作与轴垂直的平面交轴于点（点叫作点在轴上的投影），则向量称为向量在轴上的分向量．设，则数称为向量在轴上的投影，记作或． 按此定义，向量在直角坐标系中的坐标就是在3条坐标轴上的投影，即．投影的性质： 性质1 （即），其中为向量与轴的夹角． 性质2 （即）．性质3 （即）． 习 题 6-1 1．在平行四边形中，设，，试用和表示向量、、、，其中是平行四边形对角线的交点．2．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．3．求起点为，终点为的向量与的坐标表达式．4．求平行于的单位向量．5．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？6．求点与轴，平面及原点的对称点坐标．7．已知点，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．8．过点分别作平行于轴的直线和平行于面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？9．求点到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．10．求证以、、3点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在坐标面上，求与三个点等距离的点的坐标．12．轴上，求与点，点等距离的点．13．求使向量与向量平行．14．求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式．15．求与向量平行，模为10的向量的坐标表达式．16．已知向量，，试求：（1）； （2）．17．已知两点，，求向量的模、方向余弦和方向角．18．设向量的方向角为，，．若已知，．求．19．已知3点，，，求：（1）与及其模；（2）的方向余弦、方向角；（3）与同向的单位向量．20．设，，，求向量在轴上的投影和在轴上的分向量．21．一向量的终点。