专题4 一元函数导数及其应用--《2021届新高考山东优质数学试卷分项解析》 【解析版】.doc

专题4 一元函数导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.预测2021年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等.1.（2020全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.2．（2020全国高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.3．（2020全国高考真题（文））已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解，令，则有，令，解得，令，解得或，所以函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，所以当有两个解时，有，所以满足条件的的取值范围是：.3．（2020山东海南省高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;（2）解法一：,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，∴又等价于，即，令,则在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，∴,，∴a的取值范围是[1,+∞).5．（2020天津高考真题）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 (Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则. ①令.当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.因为，，，所以. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故 ③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.一、单选题1．（2021潍坊市潍城区教育局月考）已知函数 （其中为自然对数的底数），则图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】，该函数的定义域为，且，令，可得，此时，函数单调递减；令，可得，此时，函数单调递增.所以，函数的极小值为.因此，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.2.（2020广西壮族自治区柳江中学高三一模（文））函数的图象大致是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，函数的定义域为，可排除A项；设，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，可得，所以函数在上单调递增，在单调递减，且.故选：B.3．（2020江苏省丰县中学高三月考）若幂函数的图象过点，则函数的递增区间为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，代入点，则，解得，，则，令，解得，函数的递增区间为.故选：A.4．（2020江苏省丰县中学高三月考）设，，，…，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，，由此可知：，.故选：D.5．（2020山东师范大学附中高三月考）已知定义在上的函数，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，，，，为定义在上的偶函数；当时，，在上单调递减，又为偶函数，在上单调递增.由得：，即，，解得：，即不等式的解集为.故选：.6．（2020江苏南通高三期中）已知，，记，则（ ）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】D【解析】设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．由，得，与直线平行的直线的斜率为．令，得，则切点坐标为，切点到直线的距离．即的最小值为．又过且与垂直的直线为，即，联立，解得，即当最小时，．故选：D．7．（2021山东滕州市第一中学新校高三月考）定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A详解：，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在 ，满足 ∴方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得 ∴实数的取值范围是.故选:A．8．（2020济南市历城第二中学高三月考）已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恰有个零点，即方程恰有个实数根.即函数的 图像与的图像有三个交点，如图.与函数的 图像恒有一个交点，即函数与有两个交点.设与函数相切于点，由所以，得，所以切点为，此时，切线方程为将向下平移可得与恒有两个交点，所以故选：D9．（2020山东新泰市第一中学高三月考）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，所以切点为，代入，得，、为正实数，则．当且仅当时，取得最小值．故选：C10．（2020山东新泰市第一中学高三月考）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】设，则，，，即在上单调递减，，即，即，故选项A不正确；，即，即，故选项D不正确；，即，即．故选项B不正确；故选：C．11．（2020山东新泰市第一中学高三月考）函数在上的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造函数，证明当时，，即，从而当时，，排除B，C，D，即可得解.详解：记，，，在上单调递增，又，当时，，即，又，当时，，故排除B，C，D.故选：A.12．（2020山东高三开学考试）已知直线恒在函数的图象的上方，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】很明显，否则时，函数单调递减，且时，而当时，不合题意，时函数为常函数，而当时，不合题意，当时，构造函数，由题意可知恒成立，注意到：，据此可得，函数在区间上的单调递减，在区间上单调递增，则：，故，，构造函数，则，还是在处取得极值，结合题意可知：，即的取值范围是.故选：A.13．（2020山东潍坊高三月考）若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题可知，则，令，而，则，所以在上单调递增，故，即，故，即，所以.故选：B.14．（2020博兴县第三中学高三月考）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数有两个零点由题意得方程有两个根.设，则设，则所以在上单调递减，又当，所以在上单调递增,当，所以在上单调递减,又，，当时，，则所以存在，，即在上，又当时，幂函数、对数函数的增加速度的快慢，可知时，作出函数的大致图象如下. 所以方程有两个根，即的图象与有两个交点，所以实数的取值范围是，故选：B15．（2021潍坊市潍城区教育局月考）已知函数，若且，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示：设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，，由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，当时，，令，得，切点坐标为，此时，，，故选B.二、多选题16．（2020山东省实验中学高三月考）设函数若函数有三个零点，则实数可取的值可能是（ ）A．0 B． C． D．1【答案】BCD【解析】函数有三个零点等价于与有三个不同的交点当时，，则所以在上单调递减，在上单调递增且，，从而可得图象如下图所示：通过图象可知，若与有三个不同的交点，则故选：BCD17．（2020鱼台县第一中学高三月考）对于函数，下列正确的是（ ）A．是函数的一个极值点B．的单调增区间是，C．在区间上单调递减D．直线与函数的图象有3个交点【答案】ACD【解析】由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数的图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.18．（2020山东潍坊高三月考）已知函数，，且，则关于的方程实根个数的判断正确的是（ ）A．当时，方程没有相应实根B．当或时，方程有1个相应实根C．当时，方程有2个相异实根D．当或或时，方程有4个相异实根【答案】AB。