第三章 刚体动力学.pdf

黄武英普通物理物理与电子信息学院第三章 刚体动力学§ 3.1 定轴转动刚体的转动惯量一、转动动能二、转动惯量三、平行轴定理 四、垂直轴定理§ 3.2 刚体的定轴转动定理一．力矩 二．转动定律§ 3.3 定轴转动定理的积分形式一、定轴转动的角动量定理二、力矩的功 三、动能定理§ 3.4 定轴转动的角动量守恒定律一、刚体的重力势能二、刚体的角动量定理及守恒定律三、非刚体的角动量定理及守恒定律复习第三章 刚体动力学一、刚体无论在多大外力作用下，其形状和大小都保持不变的物体刚体的特点：各质点之间的距离保持不变二、刚体的运动1、 平动当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定直线在运动中始终保持它的方向不变，则称为平动运动轨道看，平动包括直线及曲线运动刚体内所有质点的位移都是相等的平动的刚体可视为质点2、转动当刚体运动时，如果刚体内的各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，则称为转动转轴转动又分为两类：定轴转动：转轴是固定不动的非定轴转动： 转轴的方向是变化的（陀螺的转动）3、一般运动 既包含平动又包含转动 （圆柱体的滚动）三、定轴转动的基本特征1、刚体上任一质点作圆周运动，轨道平面与转轴垂直2、刚体上各质点具有相同角位移、角速度及角加速度。

3、刚体上各质点一般具有不同的速度和加速度四、角速度矢量刚体的定轴转动主要取决于两个要素：角速度的大小 转动的方向ωKω在转轴上画一有向线段 ωK其长度等于角速度的大小 ω其方向与刚体的转动方向呈右手螺旋关系ωKω刚体作定轴转动时，刚体上任一点 P的速度VGωK与的关系•VGVrω=×GK K角加速度矢量ddtωα =KG如果建立一个直角坐标系，并将 Z轴取在转轴上Zzkω ω=GKzω ω=±zkα α=GGzzddtωα =第 i个质点的速度的大小§ 3.1 定轴转动刚体的转动惯量一、转动动能ωimΔiriiVrω=2221122ii iimV mr ωΔ=Δ动能：刚体的动能是所有质点的动能之和221111 2 222kEmVmV= Δ+Δ+"22 221111 2 222mr mrωω= Δ+Δ+"2212 iiimr ω⎛⎞=Δ⎜⎟⎝⎠∑2212 iiimrω=Δ∑若令2iiiI mr=Δ∑212kEIω=二、转动惯量若令2iiiImr=Δ∑212kE Iω=刚体对给定轴的转动惯量文字描述： 刚体对定轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴距离平方的乘积之和。

212kE MV=比较转动惯量 是物体在转动中惯性大小的量度转动惯量的计算方法1、对于分立的刚性质点系2211 2 2Imr mr=++"mxymmmmma26Imr=26ma=2、对于质量连续分布的物体 (一般情形 )22MVI rdm r dVρ==∫∫面分布情况：22MsIrdmrdSσ==∫∫线分布情况：22MI rdm r dλ==∫∫AA转动惯量与下面的因素有关①、刚体的质量；③、转动惯量与转轴的位置有关②、质量一定时，转动惯量与质量的分布有关；质量体分布情况：求质量为 ，长为2l2l−O´OXAm 的均匀细棒对下列不同例 11、转轴通过棒的中心并与棒垂直2、转轴通过棒的一端并与棒垂直3、转轴通过棒上离中心为h 的一点并与棒垂直hxdxmλ = Amdm dx dxλ==A2mIrdm=∫3213412mm=⋅=AAA222mx dx−=∫AAA转轴的转动惯量：解：lO´OXhxdx222hhI xdxλ+−+=∫AA22112mmh=+A同一刚体对于不同的转轴具有不同的转轴惯量只有指明转轴，刚体的转动惯量才有明确意义lO´OXxdx32133mλ==AA20I xdxλ=∫A例 2、 求质量为 m，半径为 a的细圆环以及半径为 a的圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量 。

22mIa dmma==∫admardr2dS rdrπ=2dm dS rdrσ σπ==232dI r dm r drπσ==320122aI dI r dr maπσ== =∫∫三、平行轴定理刚体的转动惯量 I一轴过质心，则刚体对二轴的转动惯量有下列的关系与轴的位置有关，若二轴平行，其中2cII md=+cI 为刚体对质心轴的转动惯量m为刚体的质量I 为刚体对另一平行轴的转动惯量d 是两轴的垂直距离重做例 1系，薄板在 平面内，则刚体对四、垂直轴定理OXYZ− ZOXY Z设刚体为厚度无限小的薄板，建立轴的转动惯量为z xyIII=+证明：OXYZimirixiy222ziii iiiiI mr mx my==+222z ii i i i iImrmxmy==+∑∑∑zI =xI+yI与薄板垂直， 轴求圆环 (半径为 ，质量为 )相对于直径转轴r m例xyz解：圆环相对于 z轴的转动惯量为22zmIr dmmr==∫由垂直轴定理 ：z xyIII= +又因为：x yI I=x yI I=12zI=212mr=的转动惯量①若§ 3.2 刚体的定轴转动定理一．力矩一．力矩ωKZPrKFKO ϕM rF=×KKK对转轴的力矩大小为 : sinMrF ϕ= 0 ϕ π≤≤方向为：沿着转轴，指向按右手螺旋定则来确定说明：FKFK与转轴平行，则 对定轴转动不起作用；②若 FK不在与转轴垂直的平面内，则只需考虑此力在与转轴垂直平面内的分力即可。

1．单力矩2.合力矩若刚体同时受多个外力作用，设作用力分别为123,,,FFFK KK" 作用于刚体内不同的质点123,,,PPP"这些质点一般不在同一平面内， 但每个力的力矩iii izM rF Mk=× =KK KK均位于 Z 轴上iiM M=∑K KiziM k⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑KzM k=K对转轴的合力矩例 1、求质量为 m长为 l的均匀细棒在重力场中所受的重力矩θϕrGdrdrdm λ=gdmG()sinzdM r dmg ϕ=0z zM dM=∫A0sing rdrλϕ=∫A2111222sin sin cosgmgmλ ϕϕθ===AAAsinrdrgλ ϕ=解：在棒上距离转轴 处取长为 的质量元 rGdrG3. 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量ωimiriz i iimr vL =×GGGiz i i iLrmv=质点 Ai 沿Z轴的角动量为( )iivr⊥G G此角动量的大小为Z( )2iZi Ziiirrmmrωω==刚体的 总角动量 为123zizizz zLLLLL ++= = +∑"2iiZ ZiZrL mIω ω= =∑二．转动定律根据质点的角动量定理[( )]iiii i iidrFrf r mvdt×+×= ×KKGG GGωimiriFKifK外力对转轴的力矩 内力对转轴的力矩对刚体的所有质点求和[()]ii ii i iidrF rf r mvdt×+ ×= ×∑∑ ∑KKGG GG一对内力对转轴的力矩之和1rG2rG12()rr f=−×KKK12rfrf=×−×KKKK12r f r f′×+×KKKK0Rf= ×=KKRGfKf ′K[()]ii ii i iidrF rf r mvdt×+ ×= ×∑∑ ∑KKG GGG[()]ii i iidrF r mvdt×= ×∑∑KG GG dLMdt=GG刚体的定轴转动定律一对内力对转轴的力矩之和为零在刚体沿 Z轴作定轴转动的情况下：zzdLMdt=在刚体沿 Z轴作定轴转动的情况下 , 刚体沿 Z 轴的角动量的变化率等于刚体所受到的沿 Z轴的合外力矩 .此结论称为刚体的 定轴转动定理 . zzdLMdt=由可得：()zdM Idtω=ZdIdtω=z zI α=此式为刚体的定轴转动定律又一表达式。

和Z ZLIω=rOm1m2m正gmG11TKgmG22TK12mm >2aG1aG求考虑滑轮的质量以及滑轮轴的摩擦阻力时，绳子的拉力和物体运动的加速度 (角加速度 )例 1①、滑轮的质量不计②、无阻力③、绳子的质量不计解： 按牛顿运动定律和转动定律对1m11 11Tmg ma− +=−对2m22 22Tmg ma− +=对 m21Tr Tr Iα− =其中212I mr=××两边绳子的拉力相等必需满足三个条件：rOm1m2m正gmG11TKgmG22TK12mm >2aG1aG12aaa==taa rα==2112()(2)mmgammm−=++211122()mmgmm mrα−=++[ ]112211122(2 )()mm mgTmm m+=++[ ]121221122(2 )()mmmgTmm m+=++11 11Tmgma−=22 22Tmg ma−=−21Tr Tr Iα−=又解得绳长不变，绳子在滑轮上不滑动 若滑轮轴上存在摩擦阻力矩 rM21 rTr Tr M Iα− −=2112()(2)rmmgMrammm− −=++211122()rmmgMrmm mrα− −=++[ ]112211122(2 )()rmm mgMrTmm m+−=++[ ]121221122(2 )()rmmmgMrTmm m++=++rOm1m2m正gmG11TKgmG22TK12mm >2aG1aGrM0ω例 2、半径为 R，质量为 m，厚度为 e的均匀圆盘，平放在粗糙的水平面上，设盘与桌面间的摩擦系数为 ，圆盘最初以角速度 ，绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它将经过多少时间才能停止转动？μoω分析： 由于是匀质的圆盘放在粗糙的水平面上，所以圆盘受到的摩擦力不集中于一点，而是分布于整个圆盘与桌子的接触面上e2dm redrρ π=所受的力矩为：rdM r dmgμ=圆盘受到的总力矩为：rM rdmgμ=∫202Rg erdrπμ ρ=∫323ge Rπμρ=解： 每个质元的质量为r0ωrddFμKe而2mReπ ρ=23rM mg Rμ=由定轴转动定理，阻力矩使圆盘减速，获得角加速度：23mg R Iμ α−=212dmRdtω=0002132tg dt R dωμ ω−=∫∫034Rtgωμ=r0ωrddFμKe时刻刚体对固定轴的角动量§ 3.3 定轴转动定理的积分形式一、定轴转动的角动量定理设刚体经历一定轴转动过程121 2,ttω ω→→定轴转动定律zzzdMI Idtωα==两边对 t 积分2211ttzzdM dt I dtdtω=∫∫z2z1(()tztIdωωω=∫）21() ()zzIt Itω ω= − 角动量 (动量矩 )定理()ItωGt为L =G21tztM dt∫称为合外力矩在12tt→ 这段时间内的冲量矩二、力矩的功OrKvKFKxrKdθdα ϕdW F dr=⋅KKcosFdr α=KcosFrdθ α=sinFrdϕ θ=Mdθ=刚体转过角位移 dθ 过程中，外力所作的功为1θ2θ由角位置 转到 所做的总功为：21zWMdθθθ=∫zzM dθ=若zM 是常量21()zWMθ θ=−力矩的功率z zzdW dPMMdt dtθω== =力矩的功例 1、 均匀细棒在重力场中所受的重力矩的功1θ2θ12coszMmgθ= Aθ1θ2θ在细棒从角位置转到的过程中2112cosmg dθθθ θ=∫A21zWMdθθθ=∫( )1212sin sinmg θ θ=−A21zWMdθθθ=∫gmK三、动能定理刚体在定轴转动过程中，遵从转动定律zzzdMI Idtωα==22112122() ()zzIIω θωθ=−21()()zzzzI dωθωθω ω=∫2211zzdWMd Iddtθθωθ θ==∫∫文字表述： 合外力矩对定轴刚体所作的功等于刚体转动动能的增量动能定理yxo§3.4 定轴转动的角动量守恒定律一、刚体的重力势能刚体处。