定积分近似计算方法2.doc

定积分的近似计算方法..定积分的近似计算方法纲要 本文主要议论了一元函数常有的数值积分方法 ,比如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些偏差,为了减少偏差,能够利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文环绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断偏差,并用例题剖析它们产生偏差的大小、计算量等.重点词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 偏差剖析 近似计算1前言在计算定积分的值Ibf(x)的一个原函f(x)dx时,经常依据微积分学基本定理求出a数F(x),再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,b)fxdxFbFaIa( )(().但在实质应用中,这类方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有详细表达式,不过一些实验测得b2bsinx2dx等等,这数据形成的表格或图形或许是F(x)没法用初等函数表示,比如,aexdx,a就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分相同,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数(x)来近似取代b(x)dx的值简单求的.这样就把计算复杂的bf(x)dx转变为求简单的积分值f(x),且aab(x)dx.所以,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.a2 常有数值方法2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离散布的插值型求积公式.利用插值多项式来结构数值积分公式是最常用、最基本的方法,详细做法是：给定区间[ab,]上一组节点ax0x1...xnb,以及节点处函数f(x)(i作f(x)的n次拉格朗日多项式0,1,2,n,inn(x)f(xi)li(x)i0,此中li(x)(xx0)L(xxi1)(xxi1)L(xxn)(xix0)L(xixi1)(xixi1)L(xi,将插值公式xn)/第1页共17页f(x)f(n1)( )(x)n(x)1)!n1(n.其中n1(x)x(x0x)(x1x)x(L2x)xn(,[a),b],依赖于变量x,bbbf(n1( ))n1(x)dx上式积分得f(x)dxn(x)dx1)!aaa(nbnf(xi)li(xi)dxbf(n1)( )(n1)(x)dxaa(n1)!i0n(n1))bbf(i0f(xi)bali(x)dxa(n1)!(n1)(x)dxb( ),(0,1,2,若记Aialii..n)(1)xdxR[f]bf(n1)()n1(x)dxa(n1)!,(2)bn则有f(x)dxAif(xi)R[f](3)ai0称式(3)为插值求型公式,此中Ai(i0,1,2,.n)与f(x)没关,叫求积系数,xi为求积节点,R[f]为求积公式余项,此中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1 梯形公式当插值节点 x0,x1分别选用区间端点 a,b时,由式(3)分别求出求积系数A0bxx1dxbxbbax0x1adx2aab,Abxx0dxbxabadx1axxaba2.10进而的求积公式bf()ba[()fb(.)](4)xdxfaa2称求积公式(4)为梯形求积公式 ,简称梯形公式 .第2页共17页2梯形公式截断偏差:R[f](ba)3f(*),*[a,b].(5)123梯形求积公式的代数精度:1当f(x)1时,式(5)中bba(1)1baxba.dx2a精准建立.2.1.2辛普森求积公式1辛普森求积公式入选用节点为x0a,x1ab,x2b时,由式(1)求以下求积系数2A0b(xx1)(xx2)ba(x0x1)(x0x2)dxa(xab)(xb)ba2abdx(ab)6)(a2,A1b(xx0)(xx2)b(xa)(xb)dx2(ba)a(x1x0)(x0dxabab3x2)a(a)(b)22.b(xx0)(xx1)b(xa)(xab)baA2dx2dxa(x2x0)(x2x1)aaba)(bab6()22.进而求积公式bf(x)dxba[f(a)abf(b)]a4f()62.（6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式 .2 抛物线求积公式偏差预计定理1.若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:R[f](ba)5f(4)(*),*[a,b].(7)28803抛物线公式的代数精度为3.易考证,当f(x)1,x,x2,x3时,式(6)精准建立,而当f(x)x4时,式(6)不可以精准建立. 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式第3页共17页在等距离节点xiaih,hba(i0,1,2..xath,下此中n)作为变量替代n那么由求积公式(1),得系数:nt(t1)(ti1)(ti1)(tn)Aih0i!(n1(n1)!dt1)ba(1)n1n1)...(ti1)(ti1)...(tn)dt(i0,1,2,...n)(8)ni!(n1)!t(t0则 Ai (b a)Ci(n) (9)bn于是差值求积公式为:f(x)dx(ba)Ci(n)f(xi)R[f](10)ai0称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,此中Ci(n)称为科茨系数.明显,科茨系数与被积函数f(x)及积分区间[a,b]没关,它指依靠于 n,且为多项式积分 .所以,只需给出n,就能看出 Ai,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断偏差与代数精度.当n1与n2状况剖析牛顿-科茨公式的截断偏差为R[f]bf(x)dxbn(x)dxbf(n1)()(n(x)dxaaa1)!牛顿-科茨公式的截断偏差还能够写成f(n2)(*)b为偶数）R[f]an1(x)dx(n(n2)!f(n1( ))*bn1(x)dx(n。