华东师大初中数学九年级上册图形的相似全章复习与巩固知识讲解提高精选.docx

《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解(提高)【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方， 探索并掌握相似三角形的判定方法， 并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、掌握三角形中位线以及梯形中位线、三角形重心的定义、性质及应用；4、相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力 ^【知识网络】佛形中位线【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1 .相似图形： 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形 (similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；⑵ “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；2 .相似多边形：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形.要点诠释：(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质.(2)相似多边形对应边的比称为相似比 .abcd,对于四条线段如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等， 、、、3.比例线段：abcd,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. ::=如要点诠释：abcdad=bc; (d=也叫第四比例项):(1)若：，贝U 2bcab=bc =acba ,则的比例中项)(称为.、) 若(2::要点二、相似三角形：1.相似三角形的判定如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角 对应相等，那么这两 判定方法(一)：.个三角形相似 要点诠释：要判定两个三角形是否相似， 只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可， 对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似 ^判定方法(二)：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三 角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似， 应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的 ^判定方法(三)：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 ^相似三角形的性质： 2. (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；(2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 ^要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 ^(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3 .相似多边形的性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的周长比等于相似比.(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.要点三、中位线1 .三角形的中位线： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ^性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 ^要点诠释：(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系 ^(2)三角形的三条中位线把原三角形分成全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长 11,每个小三角形的面积为原三角形面积的为原三角形周长的 . 42 (3)三角形的中位线不同于三角形的中线.2 .梯形的中位线： 连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 ^性质：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 ^3 .三角形的重心概念： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心.1 .重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 性质：一। 3要点四、位似2 .位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.3 .位似图形的性质：(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行 ^要点五、图形与用坐标根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系， 是确定点的位置的必经过程， 只有建立了适当的直 角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：轴的正方向；y轴，x)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定 1 (.(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.1 .点的平移：在平面直角坐标系中，将点 (x, y)向右或向左平移 a个单位长度，可以得到对应点 (x+a, y)或(x — a, y)；将点(x , y)向上或向下平移 b个单位长度，可以得到对应点(x , y + b)或(x , y — b). 要点诠释：(1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；(2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；(3)在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿 x轴平移纵坐标不变，沿y轴平移横坐标不变.2 .图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上 (或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上 (或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上 (或向下)平移a个单位长度.要点诠释：(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化 ^要点六、黄金分割1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段 AP、PB,若小段与大段的长度之比等于 PBAP (此时线段 AP叫作线段PR AB的比例中项)大段的长度与全长之比， 即，则P APAB点就是线段AB的黄金分割点(黄金点)，这种分割就叫黄金分割.A P B倍，人们2顶角为黄金三角形：36。

的等腰三角形，它的底角为 72恰好是顶角的 2.称这种三角形为黄金三角形. 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割. 【典型例题】 类型一、相似三角形 394502 ID 号：：相似专题复习 高清【高清课堂 】1-2关联的位置名称(播放点名称)：例之间满足怎样的关系、 baBDBC=bAC=aCDB=90ABC=1已知：如图，//当与时，这两个三角形相似?【思路点拨】可以假设^ AB打△ CD&则根据相似三角形对应边比值相等的性质可以求得 a、b、BD的关系，即可解题.【答案与解析】ACaBCb, == v 22ba , AB=①当△ ABC^ABDC时，BDBC , ABAC J 22ba bBD .即 a②当△ ABC^△ CDB时，BDBC , CBAC2bBD .即一 a【总结升华】 相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论 ^举一反三【变式】如图，在矩形 ABCD中，AB=6, BC=8,沿直线MNX寸折，使A、C重合，直线 M岐 AC于O. (1)求证：△ COMhACBA; (2)求线段 OM的长度.【答案】(1)证明：A与C关于直线MN寸称，VMN / COM=90 , AC：：在矩形 ABC叶，/ B=90° , ZCOMy B, •・・又/ ACB之 ACB ;△ COMhA CBA , , BC=8, AB=6 中，CB怂 Rt 在)2 (■:AC=10 , OC=5 .・・・・△ COMbA CBAOCOM,ABBC15 OM=.1.— 4.2.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点 O,点E在边BC的延长线上，且 OE=OB，连接DE.(1)求证：DEL BE;(2)如果OEXCD,求证:BD?CE=CD?DE.【答案与解析】证明：(1) ...四边形 ABCD是平行四边形,BO=BD , ,.OE=OBOE=BD・ ./ BED=90 ° ,・ ••DEXBE;⑵OEXCD・ •• / CEO+ / DCE= / CDE+ / DCE=90 ° , ・ ./ CEO= / CDE ,,. OB=OE ,・ ./ DBE= / CDE ,・ •/ BED= / BED ,BDDE・•. △ BDE s匕 DCE , CD -CE••.BD?CE=CD ?DE .【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质， 直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键.举一反三【变式】如图，在 RtAABC中，/ C=90° , △ ACD沿AD折叠，使得点 C落在斜边AB上的 点E处.;BAC BDE △)求证：1 (.(2)已知AC=6 , BC=8 ,求线段 AD的长度.【答案与解析】证明：(1) .// C=90 ° , △ ACD 沿 AD 折叠，. C= / AED=90 ° ,・ ./ DEB= / C=90 ° ,. •/ B= / B,・ .△BDE BAC ;(2)由勾股定理得， AB=10 .由折叠的性质知， AE=AC=6 , DE=CD , / AED= / C=90BE=AB AE=10 6=4,在RtABDE中，由勾股定理得，222DE+BE=BD ,222 即 CD+4= ( 8 CD ),解得：CD=3,222 AC+CD=AD ,在RtAACD中，由勾股定理得 222 +6=AD ,即3" 讨 AD=.解得:ADAED=AC 上，/, E分别在边 AB, D3. (2016?杭州)如图，在△ ABC中，点AC迎延J adfs^FG AC -2若的值.2,求因G且BC/B,射线AG分别交线段 DE,于点F ACG ; 1 ()求证：△AD 二 DF11 AF()欲证明△ adf2此AC -CG,由可知，只要证明/ ADF= /"△ ACGC即可.1【思路点拨】利用相似三角形的性质得到，由此即可证明. 2【答案与解析】 (1)证明：AED= / B, / DAE= / DAE ,DP_ ADCG ACA? AD AD 1_= •・•, ・・・△ ADF ACG . (2)解：.△ ADFs^acg, AG AC =, 「.AC 2 =又「，妪目 性AG 2 .•. = , FG =1 记住相似三角本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，【总结升华】 形的判定方法是解决问题的关键， 属于基础题中考常考题型. 类型二、部中位线▼ CEF=90° , /, / ABCW个顶点的等腰 RtAABC, RtCEF知4.已两个共一 .MBME中AF, M是AF的点，连接连接 ；// CF:直线上时，求证 MB- 1 (1)如图，当 CB与CE在同的长；，CB=aCE=2a 求 BM, ME2()如图 1,若：BM=ME 当/ BCE=45° 时，求证图(3)如 2如答图1,延长AB交CF于点D,则易知^ ABC^A BCD均为等腰直角三角形,•.AB=BC=BD・・•点B为线段AD的中点，又•.•点M为线段AF的中点，,线位中。