A级：“四基”巩固训练一、选择题1.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 B解析 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.2.函数f(x)＝－x的图象( )A.关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称C.关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称答案 C解析 ∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，f(x)的图象关于坐标原点对称.3.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )A. B. C. D．1答案 A解析 函数f(x)的定义域为.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.4.已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A.1 B．2 C．－1 D．－2答案 D解析 因为函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.5.若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )A.(a，－f(a)) B．(－a，－f(－a))C.(－a，f(a)) D．(－a，－f(a))答案 D解析 因为－f(a)＝f(－a)，所以点(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．故选D.二、填空题6.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(2x－1)>f()成立，则x的取值范围是________．答案 －f()成立，则－<2x－1<，即－恒成立，此时0时，f(x)＝x|x－2|，求当x<0时，f(x)的解析式．解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，∴当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.10.已知函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)．若f(2m＋1)＞f(2m)，求m的取值范围．解 当a，b∈(－∞，0)时，总有＞0(a≠b)，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为f(2m＋1)＞f(2m)，所以|2m＋1|＜|2m|，即4m＋1＜0，解得m＜－.B级：“四能”提升训练1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(2－x)＋f(x－2)＝0，求f(2020)的值．解 ∵f(2－x)＋f(x－2)＝0，令t＝x－2，得x＝t＋2，代入有f(－t)＋f(t)＝0，∴f(x)为奇函数，则有f(0)＝0.又∵f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，f(4)＝f(0)＝0，∴f(2020)＝f(2012＋8)＝f(2012)＝f(2004＋8)＝f(2004)＝…＝f(4)＝f(0)＝0.2.(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数；(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数．证明 (1)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)，①令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)，②由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数.(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)．可见，f(－x)的定义域也是(－l，l)．令F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的．∵F(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.。
