2023届高三数学小题专练——空间向量及其运算4（含解析）.docx

一、单选题1．正方体的棱长为，且，，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．2．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．3．已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在的直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）直线与所成的角不可能为；（2）直线与所成角的最大值为；（3）直线与所成的角为时，与所成的角为.其中正确的是（    ）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）4．已知半径为1的球面上有四个点，，且，则四面体的体积最大值为（    ）A． B． C． D．5．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．6．如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是A． B． C． D．7．已知正方体的棱长为4，，，分别为，，的中点，点在平面中，，点段上，则下列结论正确的个数是（    ）①点的轨迹长度为；②的轨迹平面的交线为圆弧；③的最小值为；④若，则的最大值为．A．4 B．3 C．2 D．18．将边长为1的正方形沿对角线翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点,分别是线段和上的动点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（    ）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分10．已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（    ）A． B． C． D．11．已知棱长为3的正四面体，是空间内的任一动点，且满足，E为AD中点，过点D的平面平面BCE，则平面截动点P的轨迹所形成的图形的面积为（    ）A．π B．2π C．3π D．4π12．已知长方体中，，，，空间中存在一动点满足，记，，，则（        ）.A．存在点，使得 B．存在点，使得C．对任意的点，有 D．对任意的点，有13．如图所示的木质正四棱锥模型，过点A作一个平面分别交于点E，F，G，若，则的值为（    ）A． B． C． D．14．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）A． B． C． D．15．如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（    ）A． B．C． D．16．已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（    ）A． B． C． D．17．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点(不包括顶点)，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是(    )A．存在点F，使得为直角B．对于任意点F，都有直线∥平面C．对于任意点F，都有平面平面D．当点F由向A移动过程中，三棱锥的体积逐渐变大18．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个19．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为A． B． C． D．20．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②二、填空题21．已知在平行六面体中，，，为的中点.给出下列四个说法：①为异面直线与所成的角；②三棱锥是正三棱锥；③平面；④.其中正确的说法有___________.（写出所有正确说法的序号）22．已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________.23．正方体中，，下列说法正确的有________.（1）异面直线与所成的角为；（2）为的中点，平面截正方体所得截面面积为；（3）三棱锥的外接球半径为；（4）在上，，正方体8个顶点中与点的距离为的点有4个.24．已知共面的三个单位向量，，满足，若空间向量满足，且对于任意，，恒有，则____.25．已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是_____．26．在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______.27．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为______．28．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________.29．如图正方体的棱长为4，点M是棱的中点，点P在面内（包含边界），且，则下列四个命题中：①点的轨迹的长度为②存在，使得③直线与平面所成角的正弦值最大为④沿线段的轨迹将正方体切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为其中正确命题的序号是___________.30．已知正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则的最小值为__________.试卷第7页，共7页参考答案：1．A【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量坐标运算，利用可求得点轨迹为平面，求出关于平面对称点，从而得到，由此可求得最小值.【详解】以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，，又，，，同理可得：，，，，，，，，，的轨迹为（平面），即平面；点关于平面对称点在上且满足，；（当且仅当三点共线时取等号），，，，的最小值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求得动点的轨迹，进而结合轨迹，利用对称性得到最值.2．D【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.在点D处建立如图所示空间直角坐标系，则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,又点F距平面的距离为1，所以,的最小值为.故选：D3．A【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能可求出结果【详解】由题意知，m、n、AC三条直线两两相互垂直，不妨平移到同一个交点C，放到一个正方形中，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC| = 1，，斜边AB以直线AC为旋转轴则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，设n所在的直线为CD，m所在的直线为CB，所以，以C为坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线n的方向单位向量，，直线m的方向单位向量，，设点在运动过程中的坐标为，其中为与的夹角，，且，所以 在运动过程中的向量，设直线与所成角为，设直线与所成角为，因为线线角的范围为，所以，，令，所以不成立，①正确；由，当时，，，所以②正确；直线与所成的角为时，，，由，得，，，，所以直线与所成的角为时，与所成的角不是，③错误故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.4．B【分析】设分别在上，且，再根据线面垂直的性质与判定，结合体积公式可得，进而转求线段的最大值.再设的中点分别是，利用，再两边平方，结合向量的性质分析可得，进而求得体积最大值即可.【详解】设分别在上，且，因为，所以面所以，所以.要求四面体的体积最大，即求线段的最大值.设的中点分别是，球心为，因为，，所以.所以在中，因为，所以因为，所以所以，当和均重合时取等所以.故选：B.【点睛】本题考查了立体几何中的最值问题，需要结合体积的公式与球的性质，从而得到线的垂直关系与线段长度间的关系，并结合空间向量的方法分析最值.属于难题.5．D【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．6．B【详解】设的中点为，连，因，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，所以，，所以，即，也即，由此可得，结合可得，所以，则，即，应选答案B．点睛：解答本题的关键是建立空间直角坐标系，将题设中的异面直线所成角这一条件翻译出来，因为这是求解线段长度范围的先决条件与前提，也是解答本题是突破口．求解由于变量较多，因此运用消元思想和整体代换的数学思想，使得问题的求解有章可循，进而获得答案，本题对计算能力要求较高，具有一定的难度．7．D【分析】由题意得FP的轨迹为圆锥的侧面，P点在圆锥底面的圆周上，然后根据选项中的条件逐项判断正误即可．【详解】解：根据正方体的性质知，F到平面的距离为4，因为，所以FP的轨迹为圆锥的侧面，P点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为，圆锥的高为4，母线，对于①，点P的轨迹长度为，故①错误，对于②，由题意知，平面与圆锥的高不垂直，所以平面截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A为原点，AB所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以，，P点所在的圆的圆心为，所以圆的标准方程为，AE所在的直线方程为，所以圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离最小值为，即NP的最小值为，故③正确；对于④，以D点为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则0，，0，，4，，0，，4，设y，，因为，所以，即，对于P，，，即求的最小值，，由二次函数的性质知，当时，取得最小值，又因为，所以，所以的最大值为，所以④错误，故选：D．【点睛】本题考查正方体的结构特征，点到直线的距离，解答的关键是根据题干所给信息找出动点的轨迹.8．B【分析】设点为中点，连接，，由题意可证得，作，，利用向量的基本运算可得，再通过建立平面直角坐标系，设，，，，求出，，利用向量数量积的坐标表示可求出，借助的范围，即可得解.【详解】。