二道向量问题的解法.pdf

高中数学技巧篇——平面向量第 1 页 共 4 页题目：已知O是ABC内的一点，且0OCnOBmOA，求AOB与AOC的面积之比？解：作OCnOF，OEOFOAOCnOA，又OBmOCnOA，OBmOEOFAE //， DADCAEOC， nDADC1， nSS121过F点作ACFG //，易得EFHAOD，EHOD又 nOFOCOHOD1,ODnHEOHOE)1(, 11nOEODODnOEOBm)1(, mnODOB1, mnODOBSSSS123141::)1(:1:::1234n mnnmnSSSSmnSSSSSAOCAOB)(::123由于该题目较难，在填空题出现时可用特殊值法来解一般可设)0,0(A，)0,1(B，)1 ,0(C，),(yxO),(yxOA，),1(yxOB，)1 ,(yxOC，0OCnOBmOA0)1()(0)()1(ynymyxnxmx ， 1nmm x， 1nmn y)1(22nmnySAOB， )1(22nmmxSAOC， )1(212221nmyxSBOC，mnSSAOCAOB:注：只要设)0,( aB，),(cbC，用该方法做大题目也可高中数学技巧篇——平面向量第 2 页 共 4 页扩充：已知O是ABC内的一点，且0OCnOBmOAk，则三角形面积比例如图示。

解题方法：1.首先画出ABC及O，分别连接COBOAO,,并延长交各边于FED,,2.在COBOAO,,的延长线上分别写上各向量前的系数3.在三对蝴蝶型区域分别写上各向量前的系数，具体写法举例：由于k写在AD上，则六个三角形中只有COE和BOF的三条边均未与AD共线，所以在COE和BOF的区域写上k4.各个数字代表的含义如下：线上的数字——包含该线的两个三角形的面积和三角形内的数字——线上有数字的两个三角形的面积比5.以此可以求出6 个三角形的面积（并非实际面积，但比值关系不变）k nmnBOD，k nmmCOD，m nkkCOE，m nknAOE，n mkmAOF，n mkkBOF这样就可以求出它们之间的比值特别地，对于平行四边形ABCD来说，若0ODnOCmOBlOAk，则面积比例如图示解题方法：因为AOB含OBOA ,，所以对应区域应该填上ODOC ,的系数和依此类推，即可得出这样我们就可以求出它们之间的比值高中数学技巧篇——平面向量第 3 页 共 4 页命题：已知ABC的三个角对应的边分别为cba,,，其中1O 、2O 、H、G分别为ABC的外心、内心、垂心和重心，分别设ACABGO111，ACABGO222，ACABHG33则有下列结论：（1）22222116)(31Sbacc，其中 2,))()((cbapcpbpappS2222222132))((61Sacbcba22222221132))((61Sbcacba（2） 31, 61312cbac，31, 61312 cbab，61 , 313122 cbaa（3） 328)(222223Scbac2222222316))((31Sacbcba22222223316))((31Sbcacba内心求解过程（步骤） ：（1）设CBA,,三点坐标为),(),0,(),0,0(yxc（2）根据两点间的距离公式可求得C点的坐标。

3）由C点的坐标可求出Atan4）由Atan进一步求得) 2tan(A5）求出ABC的面积S，))()((cpbpappS（海伦公式） ，其中 2cbap6）由公式Srp，求出内切圆半径，则r就是圆心的纵坐标7）根据) 2tan(A和r可求出圆心的横坐标8）根据重心公式求出G点坐标高中数学技巧篇——平面向量第 4 页 共 4 页（9）求出 OG 10） 由ACABOG解出,注：公式（ 5） （6）也可以用其它方法推导垂心求解过程（步骤） ：（1）设CBA,,三点坐标为),(),0,(),0,0(yxc（2）根据两点间的距离公式可求得C点的坐标3）易知垂心H的横坐标就是C点的横坐标4）由BCAH，即0BCAH可求得H的纵坐标5）根据重心公式求出G点坐标6）求出 HG 7）由ACABHG解出,外心求解过程（步骤） ：（1）设CBA,,三点坐标为),(),0,(),0,0(yxc（2）根据两点间的距离公式可求得C点的坐标3）易知外心O的横坐标就是C点的横坐标4）求出ABC的面积S，))()((cpbpappS（海伦公式） ，其中 2cbap5）由公式 SabcR 4可求出外接圆半径6）求出O点的纵坐标。

7）根据重心公式求出G点坐标8）求出 OG 9）由ACABOG解出,本题难度较大，但内心的结论比较好记，可记住。