物理方法解决数学问题(三)——神奇的Fermat原理.docx

文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持物理方法解决数学问题（三）：神奇的 Fermat原理前两篇文章中，我们提到了两个用杠杆原理解决数学问题的例子 这篇文章将从另一个物理领域出发，探索光学的一个重要原理与几何极值问题的关 系物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上 我们还惊奇地发现，很多物理 现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生一个典型的例子就是 Fermat原理，它指出了光的传播路径的一个重要规律： 光总是沿着所花时间最短的路径传 播这里我们将简单介绍一下 Fermat原理，该系列后面的文章里将会用到这一 原理Fermat原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”，意思是光线 传播的路径总是满足这样一个规律：它总能使光在最短的时间内到达目的地这 个原理完美地统一了直线传播定律、 反射定律和Snell定律，解释了为什么光线 总是沿直线传播，为什么入射角等于反射角，以及光线在不同介质间传播为什么 会发生折射现象在Ted Chiang的著名科幻小说 The Story of Your Life 里有这样一段 形象的描述：“好，这是一条光线从空气射进水中所走的路线。

在碰到水面前，光线 沿着直线前进；水有不同的折射率，所以光改变了前进方向你以前听过这个， 对吗？”我点点头，“当然现在关于光所走路线有个有趣的性质这条路线是这两点之间可能的 最快的路线又来了？”“想象一下，光线沿着这条路线前进他在图解中加了条虚线这条假想中的路线比光实际走的路线要短 但是光在水中前进的速度 比在空气中小，而这条假想的路线的很大一部分是在水中的， 所以光沿着这条假 想的路线所花的时间要比沿着实际路线要长好，我明白了现在想象一下，假设光沿和另一条路线前进他画了第二条虚线这条路线减少了在水中的比例，但总长增加了光沿着这条假想的路 线所花的时间也要比沿着实际路线要长Gary放下粉笔，用蘸着粉笔屑的手指指着黑板上的图解，“任何假想 的路线都比实际的要花更多的时间 换一句话说，光线走的路线是最有可能走得 走快的一条这就是Fermat定理的最小时间原理你发现Fermat原理有什么奇怪的地方了吗？你是不是感觉 Fermat原理 很诡异，但自己也说不清楚到底是为什么诡异？仔细想想你会发现，“最快到达”这种原理显然是不符合我们的行为方式的：假如我是光，我的传播规律是“最快到达”，但此时我要传播到哪里还不知道呢。

Ted Chiang 的小说对此也做出了详细的描述：“然而我仍要问你关于 Fermat 定理的东西它的一些东西让我感到奇怪，但我不能正确指出那是什么它只是不像是物理法则Gary 的眼睛闪了一下，“我打赌我知道你想谈什么，”他用筷子把锅贴夹成两半， “你习惯于用起因和结果来思考折射： 光照到水面上是起因， 方向的变化是结果但 Fermat 定理听上去很古怪，因为它以目的的形式来描述光的行为 它就像是光线的指挥官， ‘你应该将抵达目的的时间最小化或最大化 ’”我想了一下，“继续说这是物理法则的一个老问题 人们在 17 世纪 Fermat 定理第一次成形时就一直在谈论它 Planck 写了好几卷本质是，普通的物理法则的表述是具有因果关系的，而像 Fermat 定理的可变法则具有目的性，几乎是目的论嗯，这样解释道挺有趣让我想一下我拿起一支标签笔，在餐巾纸上画了幅图解，就是 Gary 在我的黑板上画的那幅，“好，”我想我很大声地说道， “那么让我们假设光的目的是要沿着最快的路线前进 这样的话， 光如何走呢？”“好吧， 假若按人类行为学来说， 光得检验每条可能的路线并计算每条得花多少时间他从盘子里戳起最后一块锅贴。

那样做的话， ”我继续道， “光线得知道目的在哪儿 假如目的地在某某其他地方，最快的路线就会不同Gary 再次点点头，“完全正确‘最快的路线’的概念是无意义的，除非有特定的目的地 计算沿着一条假想的路线需多长时间也需要关于在这条路线上有什么东西的信息，比如水面在哪？”我继续看着纸巾上的图解， “在光开始移动前， 它得事先知道所有这一切，对吗？”“这样说来，" Gary说，“光线不能沿着老路前进，然后再在后来返回因为引起这样行为的路线不是最快的在一开始光就已经做好了全部的计算我心中暗想， 在光线能够选择它移动的方向前， 它已经知道它最终会在那里结束我知道这让我想起了什么，我抬起头看着Gary, “这让我困扰文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.0个实际的数学问题这个问题有点怪，和其它的问题很不一样给出一个点 A,给出两个圆01、02,再名&定01上 的一点B,问02上是否存在一点C,使得B点的位置恰好能让AB+BOi至IJ最小， 也即对于01上异于B的任一点B都有AB+BC > AB+BCo你一时间可能找不到 这个点C,这很正常，但光可以立即找到这个点 Co因为从Fermat原理的角度看， 光的思维方式是“逆向”的，这个别扭的题目正好顺应了它的思维方式。

只要沿 AB发射一条光线，在圆01表面上发生反射后的光线与 02的交点即为点C因为, A->B->C这条光路符合光的传播性质，这条路径是所有经过 01上一点到C的路 径中最短的一条，其它所有的 B都会使光程增加事实上，光就有这种神奇的 本领：不管之前有过多少反射点，有过多少折射点，这条光线今后传播到的每一 个点都满足这种无比别扭的“以它为终点则前面的定点均已达到最优”的性质对于光来说，这是顺理成章的事；但从我们的角度来看，还没到目的地便能确保 路径最优是很不可思议的我们会习惯性地认为，光从A点出发往B走之前必须 得先知道它的终点是C,然后才会知道B可以使光程最短，因此它才会往 B走 这是明显有悖于我们熟知的因果关系的或许说，这个世界本没有什么因果关系， 仅仅是因为人类的思维被禁锢在了因果链式思维中？问题1:给定直线l同侧的两点A和B,在直线上找一点C使得折线ACB 最短问题2:角ABC内有一点P,请在AB上找一点M BC上找一点N,使得 三角形PMN勺周长最短类似的问题还有很多很多这类几何极值问题都和 Fermat原理有直接 关系考虑这样一种物理解法：将问题中的所有直线想象成镜面对于问题 1, 在点A处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时光线经反射过 B点；对于问题2,在点P处发射光线，并不断调整初始方向，直到在某个角度时 光线经两次反射回到P点。

由Fermat原理，这两条路径都满足光程最短，途中 的反射点是最优解这直接导出了下面的结论：上述两个问题达到最优，当且仅 当路径中每相连的两条折线段与对应的动点所在直线具有相等的夹角a/_工：U丁 PZA1Problem 1 Problem 2下面考虑这两个问题的纯几何解法对于问题 1,作出点A关于直线l 的对称点A,那么AB与直线l的交点就是我们要求的C;对于问题2,分别作 出点P关于AB和BC的对称点P1、P2,则P1、P2的连线与AR BC的交点就是 我们要求的M和M几何解法的正确性也是显而易见的：把 AC转移到AC,把 PMffi PN分别转换为PIMffi P2N问题就变成了求两点间的最短距离，显然两点 间以直线距离最短无论从数学方面看还是从物理方面看， 这两种解法都是等价的从几何 解法的构造中我们可以轻易推出入射角与反射角相等， 而这个几何构造说穿了就 是作出光源的镜像，与物理解法没有本质上的区别在接下来的两篇文章里，我们会提到另外两个精彩的数学问题，它们既 可以用Fermat原理来解决，同时也可以从力学的角度来阐述。