(人教版)2020年九年级数学第13讲动点问题探究—几何图形中的动点问题教案.pdf

1 动点问题探究 几何图形中的动点问题 知识点图形的平移 图形的旋转 图形的翻折 动点问题的函数图像 教学目标会列出函数或方程等解决图形的动点问题 教学重点会解决图形的平移 旋转 翻折等问题 教学难点会利用函数及方程解决图形的平移 旋转 翻折等问题 教学过程 一 课堂导入 动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重 在全国各地的中考数学试卷中占到10 到 20 的比重 主要研究在几何图形运动中 伴随着一定的数量关系 图形位置关系的 变 和 不变 性 就运动对象而言 有点动 线动和面动 常常集代数与几何于一体 有较强的综合性 题目灵 活多变 动中有静 静中有动 动静结合 二 复习预习 1 平移 是指在平面内 将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动 这样的图形运动 叫做图形的平移运动 简称平移 平移不改变图形的形状和大小 图形经过平移 对应线段相等 对应角相等 对应点所连的线段相等 2 轴对称图形 是指在平面内沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够完全重合的图形 这条直线就叫 做对称轴 3 在平面内 将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度 这样的运动叫做图形的旋转 这个定点叫 做旋转中心 转动的角度叫做旋转角 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定 角度的位置移动 其中对应点到旋转中心的距离相等 对应线段的长度 对应角的大小相等 旋转前 后图形的大小和形状没有改变 2 三 知识讲解 考点 1 单点运动及双点运动问题 关于点运动的问题 一般根据图形变化 探索动点运动的特点和规律 作出符合条件的草图 解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量 用含未知数的代数式去表示所需的线段 根据题意中 隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式 考点 2 图形运动问题 图形的运动包括图形的平移 旋转 翻折等 图形在运动过程中 对应线段 对应角不变 以三角形 四边形的运动是常见的一种题型 这里需注意 平移 旋转 翻折都改变了图形的位置 不改变图形的形状和大小 对于此类题目 关键在于抓住运动图形的特殊位置 临界位置及特殊性质 其基本方法是把握图形运动 与变化的全过程 以不变应万变 解答过程中常需借用函数或方程来解答 考点 3 线运动问题 解决此类题的关键是根据线运动的变化 研究图形的变化 由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题 如本题利用平移性质及三角形面积建立方程解决问 题 四 例题精析 考点一双点运动问题 例 1如图 14 在 ABC中 B 9 0 AB 6cm BC 12cm 动点 P以 1cm s 的速度从A出发沿 边 AB向点 B移动 动点Q以 2cm s 的速度同时从点B出发沿 BC向点 C移动 PBQ的面积 S cm 2 与点 P移动时间 t s 的函数关系式为 其中 t 的取值范围为 判断 PBQ能否与 ABC相似 若能 求出此时点P移动的时间 若不能 说明理由 设 M是 AC的中点 连接 MP MQ 试探究点P移动的时间是多少时 MPQ 的面积为 ABC面积的 4 1 3 4 例 2 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AC 6cm BC 8cm 动点 P从点 B出发 在BA边上以每秒5cm的 速度向点A匀速运动 同时动点Q从点 C出发 在 CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速 运动 运动 时 间为 t 秒 0 t 2 连接PQ 1 若 BPQ与 ABC相似 求t 的值 2 连接 AQ CP 若 AQ CP 求 t 的值 3 试证明 PQ的中点在 ABC的一条中位线上 5 考点二图形运动问题 例 3 如图 矩形纸片ABCD中 AB 6 BC 8 折叠纸片使点B落在 AD上 落点为B 点 B 从点 A开 始沿 AD移动 折痕所在直线l 的位置也随之改变 当直线 l 经过点 A时 点 B 停止移动 连接BB 设直线 l 与 AB相交于点E 与 CD所在直线相交于点F 点 B 的移动距离为x 点 F 与点 C的距离为y 1 求证 BEF AB B 2 求 y 与 x 的函数关系式 并直接写出x 的取值范 围 6 考点三线运动问题 例 4 如图 在 ABC 中 AB AC AD AB于点 D BC 10cm AD 8cm 点 P从点 B出发 段BC上以 每秒 3cm的速度向点C匀速运动 与此同时 垂直于 AD的直线 m从底边 BC出发 以每秒 2cm的速度沿 DA方向匀速平移 分别交AB AC AD于 E F H 当点 P到达点 C时 点 P与直线 m同时停止运动 设运动时间为t 秒 t 0 1 当 t 2 时 连接DE DF 求证 四边形AEDF 为菱形 2 在整个运动过程中 所形成的 PEF 的面积存在最大值 当 PEF的面积最大时 求线段 BP的长 3 是否存在某一时刻t 使 PEF为直角三角形 若存在 请求出此时刻t 的值 若不存在 请说明 理由 7 课程小结 本节课主要研究了几何图形中的动点问题 中考中 对运动变化问题的考查是常考的内容之一 考查的 热点是点运动问题 图形运动问题 旋转 翻折 对称变换 解答动点问题时 点不同位置考虑的不 全面是容易导致出错的原因之一 复习运动变化问题时 要注意动中觅静 动静互化 以静制动 注 意问题中的不变量 不变关系 在运动变化中探索问题的不变性 考点一双点运动问题 例 1 规范解答 1 6 2 ttS0 t 6 2 由题意知 AP t BQ 2t 若 PBQ与 ABC相似 则 BC BQ BA BP 12 2 6 6tt 解得 t 3 BA BQ BC BP 6 2 12 6tt 解得 t 5 6 即当点 P移动 3s 或 5 6 s 时 PBQ与 ABC相似 8 3 作 MD AB于 D ME BC于 E ADM 90 又 B 90 ADM B DM BC MC AM DB AD 又 M是 AC的中点 1 MC AM DM AD 即 D是 AB的中点 6 2 1 BCDM 同理3 2 1 BAEM ABCMPQ SS 4 1 ABCMQCPBQAPM SSSS 4 3 126 2 1 4 3 3 212 2 1 2 6 2 1 6 2 1 tttt 即096 2 tt 3 21 tt 即点 P移动 3s 时 ABCMPQSS 4 1 总结与反思 1 要求 PBQ的面积 只需用含t 的代数式表示三角形的底和高即可得到 2 若 PBQ与 ABC相似 分两种情况讨论 BC BQ BA BP BA BQ BC BP 分别用含t 的代数式表 示各线段的长度后带入即可 3 用含 t 的代数式表示 MPQ 的面积后 按照题意建立起含有t 的方程 便可以求出移动的时间了 例 2 规范解答 解 1 当 BPQ BAC时 BP 5t QC 4t AB 10cm BC 8cm t 1 当 BPQ BCA时 t t 1 或时 BPQ与 ABC相似 2 如图所示 过P作 PM BC于点 M AQ CP交于点 N 则有 PB 5t PM 3t MC 8 4t NAC NCA 90 PCM NCA 90 NAC PCM 且 ACQ PMC 90 ACQ CMP 解得 t 3 如图 仍有PM BC于点 M PQ的中点设为D点 再作PE AC于点 E DF AC于点 F 9 ACB 90 DF为梯形 PECQ 的中位线 DF QC 4t PE 8 BM 8 4t DF 4 BC 8 过 BC的中点 R作直线平行于AC RC DF 4 成立 D在过 R的中位线上 PQ的中点在 ABC的一条中位线上 总结与反思 1 分两种情况讨论 当 BPQ BAC时 当 BPQ BCA时 再根据 BP 5t QC 4t AB 10cm BC 8cm 代入计算即可 2 过 P作 PM BC于点 M AQ CP交于点 N 则有 PB 5t PM 3t MC 8 4t 根据 ACQ CMP 得出 代入计算即可 3 作 PE AC 于点 E DF AC于点 F 先得出 DF 再把 QC 4t PE 8 BM 8 4t 代入求出 DF 过 BC的中点 R 作直线平行于AC 得出 RC DF D在过 R的中位线上 从而证出PQ的中点在 ABC的一条中位线上 考点二图形运动问题 例 3 规范解答 1 证明 如图 由四边形ABCD 是矩形和折叠的性质可知 BE B E BEF B EF 在等腰 BEB 中 EF是角平分线 EF BB BOE 90 ABB BEF 90 ABB AB B 90 BEF AB B 2 解 当点F 在 CD之间时 如图1 作 FM AB交 AB于点 E AB 6 BE EB AB x BM FC y 在 RT EAB 中 EB 2 AE2 AB 2 6 AE 2 AE 2 x2 10 解得 AE tan AB B tan BEF 由 1 知 BEF AB B 化简 得y x 2 x 3 0 x 8 2 当点 F 在点 C下方时 如图2 所示设直线EF与 BC交于点 K 设 ABB BKE CKF 则tan ABBECF ABBKCK q BK CK BC BK 8 CF CK tan 8 tan 8tan BE x BE 在 Rt EAB 中 EB 2 AE2 AB 2 6 BE 2 x2 BE2 解得 BE CF x BE x x 2 x 3 y x 2 x 3 8 2 x 6 综上所述 y 总结与反思 1 先由等腰三角形中的三线合一 得出 BOE 90 再由 ABB BEF 90 ABB AB B 90 得出 BEF AB B 2 当点F 段 CD上时 如图1 所示 作 FM AB交 AB于点 E 在 RT EAB 中 利用勾股定理 求出 AE 再由 tan AB B tan BEF列出关系式写出x 的取值范围即可 当点 F在点 C下方时 如图2 所示 利用勾股定理与三角函数 列出关系式 写出x 的取值范围 考点三线运动问题 例 4 规范解答 1 证明 当t 2 时 DH AH 2 则 H为 AD的中点 如答图1 所示 又 EF AD EF为 AD的垂直平分线 AE DE AF DF AB AC AD AB于点 D AD BC B C EF BC AEF B AFE C AEF AFE AE AF AE AF DE DF 即四边形AEDF为菱形 11 2 解 如答图2 所示 由 1 知 EF BC AEF ABC 即 解得 EF 10 t S PEF EF DH 10 t 2t t 2 10t t 2 2 10 当 t 2 秒时 S PEF存在最大值 最大值为10 此时 BP 3t 6 3 解 存在 理由如下 若点 E为直角顶点 如答图3 所示 此时 PE AD PE DH 2t BP 3t PE AD 即 此比例式不成立 故此种情形不存在 若点 F 为直角顶点 如答图3 所示 此时 PE AD PF DH 2t BP 3t CP 10 3t PF AD 即 解得 t 若点 P为直角顶点 如答图3 所示 过点 E作 EM BC于点 M 过点 F 作 FN BC于点 N 则 EM FN DH 2t EM FN AD EM AD 即 解得 BM t PM BP BM 3t t t 在 Rt EMP 中 由勾股定理得 PE 2 EM2 PM2 2t 2 t 2 t 2 12 FN AD 即 解得 CN t PN BC BP CN 10 3t t 10 t 在 Rt FNP中 由勾股定理得 PF 2 FN2 PN2 2t 2 10 t 2 t 2 85t 100 在 Rt PEF中 由勾股定理得 EF 2 PE2 PF2 即 10 t 2 t 2 t 2 85t 100 化简得 t 2 35t 0 解得 t 或 t 0 舍去 t 综上所述 当t 秒或 t 秒时 PEF为直角三角形 总结与反思 1 如答图1 所示 利用菱形的定义证明 2 如答图2 所示 首先求出 PEF的面积 的表达式 然后利用二次函数的性质求解 3 如答图3 所示 分三种情形 需要分类讨论 分别求。