1.1.2空间向量的数量积运算导学案高二数学系列（人教A版2019选择性）.docx

第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算（导学案）学习目标 (1) 掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养．(2) 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养．(3) 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．(4) 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.重点难点 重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用课前预习 自主梳理 要点一　研究空间向量数量积运算类比平面向量的数量积运算完成表格.平面空间（学生填空）夹角对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.特例:当时,则.数量积两个非零向量,则的数量积,记作,即数量积.特例:.参考答案：平面空间（学生填空）夹角对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．特例:当时,则.如果，那么向量，互相垂直，记作．数量积两个非零向量,则的数量积,记作,即数量积.已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即．特别地，零向量与任意向量的数量积为0．特例:.由向量的数量积定义，可以得到：；．也记作．要点二　投影向向量投影得到的投影向量c的表示：;2. 类似于向量向向量投影，如何定义并画出空间向量向直线投影；3. 定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.要点三　 空间向量的数量积满的运算律1. 2. 3. 参考答案：，；(交换律)；(分配律)．自主检测 、、是空间向量，则以下说法中错误的是（    ）A．、一定共面 B．、、一定不共面C． D．【答案】B【分析】利用共面向量的定义可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项.【详解】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对；对于B选项，、、可能共面，也可能不共面，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D对.故选：B.2. 棱长为的正四面体中，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】.故选：A.3. 在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，由计算即可；对于B，根据题意可得，再由计算即可；对于C，由计算即可；对于D，由计算即可.【详解】解：对于A，由题意可知：，故正确；对于B，由题意可得，又因为， 所以，所以，故正确；对于C，由题意可得，故错误；对于D，由题意可得，故正确.故选：C.新课导学 学习探究（一）新知导入环节一 创设情境引入课题(回顾旧知，类比得到空间向量数量积的概念)问题1:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关知识？想一想，在学习平面向量的数量积时，我们都学习了哪些内容，是怎么学习的.请同学们类比平面向量的数量积运算研究空间向量数量积运算，小组合作完成表格.平面空间（学生填空）夹角对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.特例:当时,则.数量积两个非零向量,则的数量积,记作,即数量积.．特例:.环节二观察分析感知概念借助几何直观，揭示空间向量投影概念的本质问题2：根据平面向量数量积的学习经验，为了研究数量积的运算律，需要先定义向量的投影.想一想空间向量的投影有哪些情况.提示：向量向向量投影；空间向量向直线投影；向量向平面投影问题3：下面我们分情况展开空间向量投影的研究.如图1(1),如何定义并画出空间向量向向量投影？如图1.1-11(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(图1.1-11(2))．追问 : 你能用向量,向量表示出投影向量吗? 追问：类似于向量向向量投影，你能定义并画出空间向量向直线投影吗？师生活动：学生独立完成后在课堂上展示、交流，最后教师总结.追问：请尝试定义并画出向量向平面投影，并说说与前面两种向量投影的画法有什么不同之处.如图1.1-11(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．空间向量的数量积满足如下的运算律：，；(交换律)；(分配律)．环节三抽象概括形成概念推广运算律，理解向量运算律与数的运算律的差异问题4：定义了运算就要研究它的运算律.类比平面向量数量积的运算律，你能说出空间向量的数量积运算具有哪些运算律吗？，；(交换律)；(分配律)．追问：你能证明这些运算律吗？问题5：我们知道，数及其运算是一切运算的基础，空间向量的数量积运算在形式上是两个向量相乘，由此，自然会想到将它与数的乘法作类比.向量的数量积是否具有一些与数的乘法类似的性质呢？它们之间有什么共性和差异吗？追问：对三个不为0的数,有,也就是说，数的运算满足结合律.对于向量的数量积运算，有“结合律吗？追问：对于三个均不为0的数，若，则．对于向量，，，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例．追问：对于三个均不为0的数，若，则(或)．对于向量，，若，能不能写成（或）的形式？环节四辨析理解深化概念例2．如图1.1-12，在平行六面体中，，，，，．求：(1)；(2)的长(精确到0.1)．解：（1）；（2），所以．环节五概念应用巩固内化例3如图1.1-13，，是平面内的两条相交直线，如果，，求证：．图3师生活动：教师首先引导学生分析问题的条件和所证明结论的本质，得出证明的基本思路：分析：要证明，就是要证明垂直于内的任意一条直线（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在和，之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题．证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量，，，．因为直线与相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使．将上式两边分别与向量作数量积运算，得．因为，（为什么?），所以．所以．这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以．思考：例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程.尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？环节六归纳总结反思提升问题7请同学们回顾本节课所学内容，并回答下列问题：(1)空间向量数量积的定义、运算律是什么？与平面向量的数量积运算有什么联系与区别？(2)空间向量投影的意义是什么？与平面向量的投影有什么联系与区别？如何画出空间向量向另一个向量、一条直线和一个平面的投影？(3)在用空间向量的数量积运算解决一些简单的立体几何问题的过程中，向量及其运算起了什么作用？课堂小结1. 空间向量的夹角(1) 两向量的夹角是唯一确定的(2) 夹角范围(3) 特殊夹角及对应两向量的位置关系2. 空间向量的数量积的定义与几何意义3. 空间向量数量积的性质：证明向量垂直的方法；计算向量长度的方法。

4. 空间向量数量积的运算律环节七 目标检测，作业布置作业布置：教科书习题第4,7题. 备用练习1. 已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案.【详解】因为M是棱CD的中点，所以所以.故选：D. 备用练习2. 已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.【详解】依题意，，，，，故A正确；，故B错误；，则，故C错误；，故D正确；故选：AD.平面空间（学生填空）夹角对非零向量,作,则叫做与的夹角,记作,.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作．特例:当时,则.如果，那么向量，互相垂直，记作．数量积两个非零向量,则的数量积,记作,即数量积.已知两个非零向量，，则叫做，的数量积(innerproduct)，记作．即．特别地，零向量与任意向量的数量积为0．特例:.由向量的数量积定义，可以得到：；．也记作．。