第十一章习题课常数项级数审敛教学教材.ppt

1、常数项级数收敛级数的基本性质级数收敛的必要条件:习题课 常数项级数审敛一、主要内容常数项级数审敛法正 项 级 数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛2、正项级数及其审敛法(1) 比较审敛法(2) 比较审敛法的极限形式是同阶无穷小特别 （等价无穷小）发散NYYNN改用它法Y收敛收敛发散收敛发散N 发散YY 收敛N用检比 法用比较法用L准则或考察部分和NNY条件收敛例1求极限解考察正项级数由检比法收敛由级数收敛的必要条件得二、典型例题例2 设 试证 发散证不妨设 a 0 由极限保号性知由于故由比较法的极限形式得 发散例3 若 都发散 则A 必发散B必发散C必发散D以上说法都不对例3解根据级数收敛的必要条件， 原级数发散解从而有原级数收敛；原级数发散；原级数也发散例4解即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理：所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛都收敛 且例5 设 试证 收敛证由 知因都收敛 故正项级数收敛再由比较审敛法知 正项级数收敛而即可表为两个收敛级数之和故收敛例6 设 且若收敛 则也收敛证由题设知而 收敛由比较法得收敛Cauchy积分审敛法设 单调减少则与 同敛散例7 证由 f(x) 单调减少知即故与 同敛散例8 设是单调增加且有界的正数数列试证明 收敛证记则且而正项级数的部分和又单调增加且有界故由单调有界原理知 存在即收敛进而收敛由比较法得收敛设正数数列 单调减少，级数发散考察的敛散性证 记由 单调减少故由单调有界原理知 存在且若由Leibniz审敛法得 交错级数收敛 与题设矛盾由检根法知 收敛 例9 已知证明 由知对有证例10而收敛故由比较法知收敛 由知有而发散故由比较法知发散如但 讨论的敛散性解对级数收敛绝对收敛发散发散分情况说明例11 级数成为收敛发散级数成为绝对收敛条件收敛例12 对的值，研究一般项为的级数的敛散性解由于当 n 充分大时， 定号故级数从某一项以后可视为交错级数总有级数发散非增地趋于 0 由Leibniz审敛法知 收敛但 而发散故由比较法的极限形式发散 条件收敛级数显然收敛 正项级数 由级数收敛的必要条件要使 收敛必须 但在一般项趋于 0 的级数中为什么有的收敛有的却发散，因此从原则上讲，比较法是基础，更重要更基本，但其极限形式（包括极限审敛法）则更能说明问题的实质，使用起来也更有效的阶问题的实质是级数收敛与否取决于关于常数项级数审敛和作为变化快慢得到检比法和检根法，检比法和检根法的实质是把所论级数与某一几何级数作比较，虽然使用起来较方便但都会遇到“失效”的情况。

这一结论将许多级数的敛散性判定问题归结为正项级数的敛散性判定注比较法、比较法的极限形式、检比法、检根法、积分审敛法，只能对正项级数方可使用的一种估计检比法、检根法只是充分条件而非必要条件L准则也是充分条件而非必要条件通项中含 等常用检比法通项中含 有以 n 为指数幂的因子时 常用检根法使用比较法的极限形式时，关键在于找出与同阶或 等价的无穷小如记则当所讨论的级数中含有参数时，一般都要对参数的取值加以讨论。