自动控制原理 胡寿松 第八章 非线性控制系统分析.ppt

第八章 非线性控制系统分析 本章初步认识非线性问题，详细展开请参加非线性系统 Hassan K.Khalil 著 控制系统在不同程度上都存在着非线性有些系统可通过在工作点附近线性化来处理（P27），但当系统包含有本质非线性特性时，就不能用线性化的方法处理 非线性系统与线性系统有本质的差别，非线性系统不满足叠加原理，它的稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参数，而且与系统的初始条件和输入信号有关 非线性系统的瞬态响应有一种特殊运动自持振荡，它是一种稳定的周期运动，振荡频率和幅值由系统结构和参数确定 本章介绍非线性系统的经典分析方法：相平面法和描述函数法，相平面法是时域中的一种图解分析法，描述函数法是频率域中的一种近似分析法本章内容8-1 非线性控制系统概述8-2 常见静态非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-1 非线性控制系统概述本节内容1. 研究非线性控制理论的意义2. 非线性系统的特征3. 非线性系统的分析与设计方法1. 研究非线性控制理论的意义 实际上，理想的线性系统并不存在，组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同程度的非线性 例如教材P386 图8-1所示的几种典型的静态非线性特性。

举例说明 用非线性微分方程描述的非线性为动态非线性特性1）非线性系统的定义：当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该系统称为非线性系统2) 非线性系统的分类非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决的非线性3）研究非线性控制理论的意义 随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度要求越来越高，建立性化基础上的分析和设计方法已经难以解决高质量的控制问题u为此，必须针对 非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究u此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器的设计 4）目前非线性研究中存在的问题 非线性特性千差万别，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法，有很广阔的研究前景理论和实践的前沿问题 线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用2. 非线性系统的特征线性系统运动的数学模型为线性微分方程（组），因此满足线性叠加原理非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程（组），因此叠加原理不能适用故能否应应用叠加原理是两类类系统统的本质质区别别。

非线性系统的运动主要有以下特点：1）稳定性分析复杂 平衡状态的定义是，在无外作用且系统输出的各阶导数等于零时，系统处于平衡状态 稳定性一般是针对平衡状态而言的 线性系统只有一个平衡状态，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，而且只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关 非线性系统可能存在多个平衡状态（比如，P99，单摆有两个平衡状态，一个是稳定的平衡状态，一个是不稳定的平衡状态，该系统为一个非线性系统各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的 另外，非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，初始条件不同，自由运动的稳定性也不同可通过如下例子来体现：考虑如下的动态非线性一阶系统：令 ，可知系统存在两个平衡状态 和 ，为了分析各平衡状态的稳定性，需要求解该非线性微分方程设 时，系统的初始状态为 ，求解得到无外界输入信号，自治系统，研究稳定性一般都是研究自治系统，即外界输入为0两侧积分得到相应的时间响应随初始条件而改变当 ， 时，随 增大， 递增； 时， 为无穷大当 时， 递减并趋于0不同初始条件下的时间响应曲线如图所示相应的时间响应随初始条件而改变当 ， 时，随 增大， 递增； 时， 为无穷大。

当 时， 递减并趋于0不同初始条件下的时间响应曲线如图所示两侧积分得到2）可能存在自激振荡现象3）频率响应发生畸变 所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定的周期运动，简称自振 线性定常系统只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动但是系统参数稍一变化，这种临界稳定的状态便不能保持，要么系统趋于稳定，要么发散，因此这种周期运动不是稳定的，故不是自振 而非线性系统可以存在稳定的周期运动如著名的范德波尔方程 必须指出，长时间 大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此在多数情况下不希望系统有自振发生但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间隙、死区等非线性因素的不良影响；而在振动试验 中，还必须使系统产生稳定的周期运动因此，研究自振的产生条件及抑制，确定自振的频率和周期，是非线性系统分析的重要内容之一 稳定的线性系统的频率响应，即正弦信号作用下的稳态输 出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相位为输入正弦信号频率的函数 而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号（基频分量）外，还含有关于的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变3. 非线性系统的分析与设计方法 系统统分析和设计设计 的目的是通过过求取系统统的运动动形式，以解决稳稳定性问题为问题为中心，对对系统实统实 施有效的控制。

由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法 2）描述函数法8-2 常见静态非线性特性及其对系统运动的影响 静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性和摩擦特性是最常见的，也是最简单 一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：本节内容1. 死区特性2. 饱和特性3. 继电特性4. 间隙特性5. 摩擦特性考研要求，能写出以上非线性特性的数学表达式，以及相应特性对系统性能的影响1. 死区特性 死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的实际的死区特性一般如下图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性理想型死区特性的的数学描述为： 死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力虚线可用动态非线性微分方程来描述2. 饱和特性 可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大实际的饱和特性一般如图中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。

理想饱和特性的数学描述为： 饱和现象使系统的开环增益在饱和区时下降虚线可用动态非线性微分方程来描述3. 继电特性 继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性有双位特性如图（a）和（b），三位特性如图（c）等，图（b）（c）的继电特性还带有滞环当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电 特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等 分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统 继电特性常常使系统产生震荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器 图（a）所示继电特性的数学描述为：图（c）所示继电特性的数学描述为： 图（b）所示继电特性的数学描述自行导出 4. 间隙特性 传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动 是典型的间隙特性，图（a）表示齿轮传动 原理，图（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系设主动轮与从动轮间 的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b，从动轮才能跟随运动式中， 为常数，它等于主动轮改变方向时的值。

间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性都不利设齿轮传动 速比为c，则图间 隙特性的数学描述为： 8-3 相平面法 相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面的相轨迹，从而比较直观、准确的反应系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响 相轨迹可通过手工法或者matlab编程绘出、特别适用于分析常见静态非线性特性和一阶、二阶线性环节组 合而成的非线性系统 本章的主要任务是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用 本节内容1.相平面的基本概念2.相轨迹图的画法3.线性系统的相轨迹及其特点（自治一阶、二阶线性系统）4.非线性系统的相平面分析5.Matlab 做相轨迹 考察二阶非线性时不变微分方程:为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组: 1.相平面的基本概念 以上微分方程组有两个变量: x可以看作广义位移（位置）， 可以看作广义速度。

一般，直接对微分方程 求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t)与t的关系图时间响应曲线 如果我们对微分方程组求解，可以得到解 和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，当 t 变化时，这一点在 平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹（相图） 平面称为相平面 我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹 和 称为状态例 考虑二阶系统：将它写成微分方程组：两式相除得到：即：两边积分得: 在相平面上绘出的相轨迹如下图所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图中只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹两个椭圆对应 于不同的初始值也可参照P393页方法，通过求解出 和 后，通过消去中间变量t 的方法，得到相轨迹以上两式相除也可消去t第一类：手工图解绘制近似图在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等倾线法、法等这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。

第二类：计算机绘制精确图借助matlab解微分方程的方法（P644页）或SIMULINK软件绘制相轨迹图第三类：手工绘制概略图概略图就象相轨迹的素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论2. 相轨迹图的画法 直接通过手工求解微分方程的方法（定义法）来求得相轨迹图通常会有繁琐的计算因此介绍几类常用的绘图方法Matlab的编程画法详见教材P664，相平面法关键是 应用ODE函数解微分方程的算法设计计计算机绘绘制精确图图1)2) Simulik 画图方法T=1K=1注意，若要考察自治系统，需要设置阶跃信号的输入幅值为0（自由运动），并且给integrator赋初值编程参加文件夹3.线性系统的相轨迹及其特点（自治一阶、二阶线性系统） 线性系统是非线性系统的特例，对于许多非线性一阶和二阶系统（系统中所含静态非线性环节可用分段折线表示），常可以分成多个区间进行研究而在各个区间，非线性系统的运动特性可用一阶或二阶线性微分方程描述 因此研究一阶、二阶系统自由运动的相轨迹及其特点是十分必要的下面研究线性一阶、二阶系统自由运动的相轨迹，所得结论可作为分析非线性一阶、二阶系统相平面分析的基础。

1）线性一阶系统的相轨迹描述线性一阶系统自由运动的微分方程为相轨迹方程为相轨迹为P396，图8-142）线性二阶系统的相轨迹描述线性二阶系统的自由运动微分方程（自治方程）为： 根据其特征根的位置不同，其相应的相轨迹图分别如下(具体推导见文献）: 相轨轨迹的基本特征有：奇点 对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作 对对于二阶阶系统统， 和 就是速度和加速度均为为零，也就意味着不再运动。