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立体几何问题 空间与平面转换是关键 典例 2016 浙江高考 如图 在 ABC 中 AB BC 2 ABC 120 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D 满足 PD DA PB BA 则四面体PBCD 的体积的最大值是 思路点拨 由题设 PD DA PB BA 可知 PBD 实际上是由 ABC 沿 BD 翻折使A 点到达 P 点而得 也就是说这实际上是一个动态翻折问题 不难知道 对每一个确定的点D 当四 面体PBCD 的体积取最大值时 必有平面PBD 平面BCD 此时过点P 向底面作的高最 大 接下来我们要选择一个合适的变量 将四面体PBCD 的体积表示出来 再用函数或不 等式等方法来解决 空间问题要转化为平面问题 这是通性通法 在这个过程中一定要关 注该几何体的结构特征 才能将空间问题转化为平面几何问题 方法演示 法一 平面几何法 由题意可知四面体PBCD 的体积最大时 应有平面PBD 平面 BCD 如图 过点P 作 PF BD 垂足为 F 则 PF 平面 BCD 则 VP BCD 1 3S BCD PF 由翻折过程可知 AF PF 则 VP BCD 1 3S BCD AF 这样就将空间问题转化为 ABC 内的问题 等腰 ABC 的底边 AC 边上的高h AB sin 30 1 VP BCD 1 3 1 2 DC h AF 1 6DC AF DC 与 AF 不在同一个 三角形中 如图 因为 S ABD 1 2BD AF 1 2AD h 则 AF AD BD 得 VP BCD 1 6DC AD BD 设 ADB 由正弦定理得 AD DB 2sin 150 DC 2sin 30 sin 则 VP BCD 2 3 sin 150 sin 30 sin cos 2 cos 120 3sin 2 3 sin 1 4sin 易知函数 f x x 1 4x在区间 0 1 上单调递增 于 是 VP BCD 2 3 1 1 4 1 2 法二 构造法 换个角度看问题 我们把 ABC 立起来 如图 设BO 平面ACP 考虑以B 为 顶点 ACP 的外接圆 O 为底面的圆锥 易得AC 23 则OB BA 2 OA2 4 1 2AC 2 1 设 PDA 0 AD x 0 xr Lcos 45 2 2 L 所以 2 2 r L 1 3 如图 等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G 已知 A ED 是 ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形 下列命题错 误的是 A 动点 A 在平面ABC 上的射影段AF 上 B 异面直线A E 与 BD 不可能垂直 C 三棱锥A EFD 的体积有最大值 D 恒有平面A GF 平面 BCED 解析 选 B依题意可知四边形ADFE 为菱形 对角线 AF 与 DE 互相垂直平分 故 A 正确 在旋转过程中DE 始终垂直GF 和 GA 故 DE 平面 A GF 所以恒有平面A GF 平面 BCED 故 D 正确 当A G 平面 ABC 时 三棱锥A EFD 的体积取得最大值 故 C 正确 因为 EF BD 故异面直线A E 与 BD 所成的角为 FEA 旋转过程中有可 能为直角 故B 错误 4 2018 西安八校联考 某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体 其直观图和三视图如图 所示 正视图为正方形 其中俯视图中椭圆的离心率为 A 1 2 B 2 4 C 2 2 D 3 2 解析 选 C依题意得 题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形 设其直角边长为a 则斜边长为2a 圆锥的底面半径为 2 2 a 母线长为a 因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 短轴长为a 其离心率e 1 a 2a 2 2 2 5 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 3 以顶点 A 为球心 2 为半径作一个球 则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之 和等于 A 5 6 B 2 3 C D 7 6 解析 选 A因为 AA1 3 AE 2 所以 EAF 6 E F 的长为 6 2 3 又因为 BF 1 FBG 2 所以 G F 的长为 2 1 2 所以 EF 和 GF 的长的和为 5 6 6 已知圆柱OO1的底面半径为 1 高为 平面 ABCD 是圆柱的一个 轴截面 动点M 从点 B 出发沿着圆柱的侧面到达点D 其距离最短时在 侧面留下的曲线 如图所示 现将轴截面ABCD 绕着轴 OO1逆时针旋转 0 后 边 B1C1与曲线 相交于点 P 设 BP 的长度为f 则 y f 的图象大致为 解析 选 A将圆柱的侧面沿轴截面ABCD 展平 则曲线 是展开图形 即矩形 的对 角线 根据题意 将轴截面ABCD 绕着轴OO1逆时针旋转 0 后 边 B1C1与曲线 相交于点P 设 BP 的长度为f 则 f 应当是一次函数的一段 故选A 7 把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M 称 为图形M 在这个平面上的射影 如图 在长方体ABCD EFGH中 AB 5 AD 4 AE 3 则 EBD 在平面 EBC 上的射影的面积是 A 2 34 B 25 2 C 10 D 30 解析 选 A连接 HC 过 D 作 DM HC 连接 ME MB 因为 BC 平面 HCD DM 平面 HCD 所以 BC DM 因为 BC HC C 所以 DM 平面 HCBE 即 D 在平面 HCBE 内的射影为M 所以 EBD 在平面 HCBE 内的射影 为 EBM 在长方体中 HC BE 所以 MBE的面积等于 CBE 的面积 所以 EBD 在平面 EBC 上的射影的面积为 1 2 52 32 4 234 8 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上 若过该球球心 的一个截面如图 则图中三角形 正四面体的截面 的面积是 A 2 2 B 3 2 C 2 D 3 解析 选 C球具有对称性 关于每一个过球心的平面 包括图中给 出的截面 都是对称的 同样 球的内接正四面体也应关于此截面对称 因此图中三角形位于球大圆内的顶点应是棱AB 所对的棱CD 的中点 E 依题意 AB 2 AE BE 3 故所求三角形 正四面体的截面 的 面积为2 9 2018 江西八校联考 已知三棱锥A BCD 中 AB AC AD 两两垂直且长度均为10 定长为 m m 6 的线段 MN 的一个端点M 在棱 AB 上运动 另一个端点N 在 ACD 内运动 含 边界 线段 MN 的中点 P 的轨迹的面积为2 则 m 的值等于 A 2 B 3 C 4 D 5 解析 选 C由 AB AC AD 两两垂直且长度均为10 可知三棱锥 A BCD 的形状如图所示 又 M 点段AB 上 N 点在平面ACD 内运动 含边界 MN 的中点 P 的轨迹是一个半径为 m 2 的球的 1 8 其表面积为 S 1 8 4 R 2 1 8 4 m 2 2 m 2 8 2 解得 m 4 10 如图 直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形 ACB 90 AC 6 BC CC1 2 P是 BC1上一动点 则CP PA1的最小 值是 A 2 B 5 2 C 4 D 102 解析 选 B沿 BC1将二面角A1 BC1 C 展开 使 A1 B C1 C 四点位于同一平面 形成四边形A1BCC1 由直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形 且 ACB 90 可知 AC 平面 BB1C1C 故在四边形A1BCC1中 A1C1 BC1 又由 BC CC1 2 可知四边形BB1C1C 是正方形 所以 BC1C 是等腰直角三角形 BC1 2 BC1C 45 A1C1C 135 如图 P 是 BC1 上一动点 CP PA1 A1C 当且仅当点 P 在 A1C 上时 等号成立 故CP PA1的最小值 是线段A1C 的长 在 A1C1C 中 AC 2 1 A1C 2 1 CC 2 1 2 A1C1 CC1 cos 135 36 2 2 6 2 2 2 50 A1C 5 2 由此可知 CP PA1的最小值是52 11 如图 在等腰梯形ABCD 中 AB 2DC 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 将 ADE 与 BEC 分别沿 ED EC 向上折起 使A B 重合于点P 则三棱锥P DCE 的外接球体积为 A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 解析 选 C如图 经过折叠生成的正四面体P DCE 必内接于正 方体 正四面体P DCE 的各条棱都是此正方体的面对角线 正四面体 P DCE 的四个顶点都是正方体的顶点 因此正四面体P DCE 和正方体 共外接球 由正四面体的棱长为1 可知正方体的棱长为 2 2 其对角 线长为 6 2 即球的直径为 6 2 所以三棱锥P DCE 的外接球体积V 4 3 6 4 3 6 8 12 2018 沈阳质检 在 九章算术 中 将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑 在鳖臑A BCD 中 AB 平面 BCD 且 BD CD AB BD CD 点 P 在棱 AC 上运动 设CP 的长度为x 若 PBD 的面积 为 f x 则 f x 的图象大致是 解析 选 A如图 作PQ BC 于 Q 作 QR BD 于 R 连接 PR 则 PR BD 由鳖 臑的定义知PQ AB QR CD 设 AB BD CD 1 则 CP AC x 3 PQ 1 即 PQ x 3 又 QR 1 BQ BC AP AC 3 x 3 所以 QR 3 x 3 所 以PR PQ2 QR2 x 3 2 3 x 3 2 3 3 2x 2 2 3x 3 所 以 f x 3 6 2x 2 2 3x 3 6 6 x 3 2 2 3 4 结合图象知选 A 二 填空题 13 2018 南昌模拟 如图 在直角梯形ABCD 中 AD DC AD BC BC 2CD 2AD 2 若将该直角梯形绕BC 边旋转一周 则所得的几何体的表面积为 解析 根据题意可知 此旋转体的上半部分为圆锥 底面半径为1 高为 1 下半部分 为圆柱 底面半径为1 高为 1 如图所示 则所得几何体的表面积为圆锥侧面积 圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和 即表面积为 1 12 12 2 1 2 12 2 3 答案 2 3 14 如图 在矩形ABCD 中 AB 8 BC 4 E 为 DC 边的中点 沿AE 将 ADE 折 起 在折起过程中 下列结论中能成立的序号为 ED 平面 ACD CD 平面 BED BD 平面 ACD AD 平面 BED 解析 因为在矩形ABCD 中 AB 8 BC 4 E 为 DC 边的中点 则在折起过程中 D 点在平面BCE 上的投影为O1O2 如图 因为 DE 与 AC 所成角不能为直角 所以 DE 不垂直于平面ACD 故 错 只有 D 点 投影位于O2位置时 即平面 AED 与平面 AEB 重合时 才有 BE CD 此时 CD 不垂直于 平面 AECB 故 CD 不垂直于平面BED 故 错 BD 与 AC 所成的角不能为直角 所以 BD 不垂直于平面ACD 故 错 因为AD ED 并且在折起过程中 有AD BD 所以 存在一个位置使AD BE 所以在折起过程中AD 平面 BED 能成立 故 正确 答案 15 2018 湘中名校联考 一块边长为a cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下 然 后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 则容器的容积的最大值是 解析 如图 设AB x OF x 2 EF a 2 0 x a 所以 EO EF 2 OF2 1 2 a 2 x2 所以 V x 1 3S 正方形 ABCD EO 1 6x 2 a 2 x2 1 6 a 2x4 x6 0 x a 令 y a2x4 x6 0 x a 则 y 4a2x3 6x5 2x3 2a 2 3x2 当 y 0 时 x 6 3 a 当 y 0 时 6 3 a x0 时 0 x 6 3 a 所以 y a2x4 x6 0 x0 cm 则 ABC 的面积为 3 4 a 2 DBC 的高为 5 3 6 a 则正三棱 锥的。