空间点直线平面之间的位置关系,高考历年真题讲课教案.pdf
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学而不思则惘，思而不学则殆 温馨提示： 高考题库为Word版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录 【考点 23】空间点、直线、平面之间的位置关系 20XX 年考题 1.（ 2009 浙江高考）在三棱柱 111 ABCA BC中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 11 BBC C的 中心，则AD与平面 11 BBCC所成角的大小是( ) A30B45C60D90 【解析】 选 C.取 BC 的中点 E，则AE面 11 BBC C，AEDE，因此AD与平面 11 BBC C所成角即为 ADE，设ABa，则 3 2 AEa， 2 a DE，即有 0 tan3,60ADEADE 2.（ 2009 重庆高考）已知二面角l的大小为 0 50，P为空间中任意一点，则过点P且与平面和 平面所成的角都是 0 25的直线的条数为（）w A2 B3 C 4 D5 【解析】 选 B.过点 P 作与 ， 都成 0 25的直线，其中在锐二面角l中有一条这样的直线，在钝 二面角l中有两条这样的直线，所以共有三条直线与 ， 都成 0 25角 3. （ 2009 全国）已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2AAAB，E为 1 AA中点，则异面直线BE与 1 CD 所成的角的余弦值为（） A. 10 10 B. 1 5 C. 3 10 10 D. 3 5 【解析】 选 C.令1AB则 1 2AA,连 1 AB 1 CD 1 AB异面直线BE与 1 CD所成的角即 1 AB与BE所 成的角。
在 1 A BE中由余弦定理易得 1 3 10 cos 10 A BE. 4.（ 2009 江西高考）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形， 则在下列命题中，错误 的为（ ） A. ACBDB. AC截面PQMN P Q M N A B C D 学而不思则惘，思而不学则殆 C. ACBDD. 异面直线PM与BD所成的角为45 【解析】 选C.由PQAC，QMBD，PM可得ACBD，故A正确；由PQAC可得 AC截面PQMN ，故B正确；异面直线 PM 与BD所成的角等于 PM 与PN所成的角，故 D正确； 综上C是错误的 . 5.（ 2009 四川高考）如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，,2PAABC PAAB平面， 则下列结论正确的是（） .PBAD .平面PABPBC平面w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 直线BC平面PAE.PDABC直线与平面所成的角为 45 【解析】 选 D.方法一：由三垂线定理，因AD 与 AB 不相互垂直，排除A； 作PBAG于G，因面PAB面 ABCDEF ，而 AG 在面 ABCDEF 上 的射影在AB 上，而 AB 与 BC 不相互垂直，故排除B；由EFBC //，而 EF 是平面 PAE 的斜线，故排除C，故选择D。
方法二：设底面正六边形边长为a，则2 ,22ADa PAABa，由PA平面ABC 可知PAAD，又PA=AD，所以在Rt PAD中有直线PD与平面ABC所成的角为45， 故应选 D 6.（ 2009 上海高考）如图，若正四棱柱 1111 ABCDA BC D的底面边长为2，高为 4， 则异面直线 1 BD与 AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）. 【解析】因为 ADA1D1， 异面直线 BD1与 AD 所成角就是BD1与 A1D1所成角，即 A1D1B， 由勾股定理，得A1B2 5，tanA1D1B5，所以 A1D1Barctan 5 答案 :arctan 5 7.（ 2009 四川高考）如图，已知正三棱柱 111 ABCABC的各条棱长都相等，M是侧 棱 1 CC的中点，则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小是 边 【解析】 方法一：不妨设棱长为2，选择基向量 1 BA,BB ,BC ， 则 111 1 , 2 ABBBBA BMBCBB 学而不思则惘，思而不学则殆 11 1 1 ()() 0220 2 cos,0 2 25225 BBBABCBB AB BM ，故填写90 o 。
方法二：取BC 中点 N，连结NB1，则AN面CB1，NB1是 1 AB在面CB1上的射影，由几何知识 知BMNB1，由三垂线定理得BMAB1，故填写 o 90 答案:90 o . 8.（ 2009 上海高考）如图，在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AABCAB, ABBC,求二面角 111 BACC的大小 【解析】 如图，建立空间直角坐标系则A（ 2，0，0） 、C（0，2，0） A1（ 2，0，2） ，B1（ 0，0，2） 、 C1（0，2，2） 2 分 设 AC 的中点为M ， BM AC, BM C C 1; BM 平面 A1C1C,即BM =(1,1,0)是平面 A1C1C 的一个法向量5 分 设平面 111 ABC的一个法向量是( , , )nx y z 1 AC=（-2， 2，-2） ， 11 AB=（-2，0， 0）7分 1 20,2220,1,0,1 (0,1,1)...................10 n ABxn ACxyzzxy n 令解得 分 设法向量nBM与的夹角为，二面角 111 BACC的大小为，显然为锐角 1 coscos, 23 n BM n BM 解得.14 分 111 3 BACC 二面角的大小为 9.（ 2009 福建高考）如图，平行四边形ABCD中，60DAB，2,4ABAD将 CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EDB平面ABD （ I）求证：ABDEw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求三棱锥EA B D的侧面积。
【解析】（I）证明：在ABD中，2,4,60ABADDAB 22 222 22cos2 3 , BDABADABADDAB ABBDADABDE 学而不思则惘，思而不学则殆 又平面EBD平面ABD 平面EBD平面,A B DB DA B平面ABD AB平面EBD DE平面,E B DA BD E （）由（ I）知,//,,ABBD CDABCDBD从而DEBD 在R tD B E中，23 ,2D BD ED CA B 1 2 3 2 DBE SDB DE 又AB平面,E B D B E平面,E B DA BB E 1 4 ,4 2 ABE BEBCADSAB BE ,D EB D平面EBD平面ABDED平面ABD 而AD平面 1 ,,4 2 A D E A B DE DA DSA DD E 综上，三棱锥EA B D的侧面积823S 10.（2009 天津高考）如图，在五面体ABCDEF 中， FA 平面 ABCD, AD//BC//FE ，ABAD， M 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE= 1 2 AD (I) 求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面 CDE ； （ III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 方法一：（）由题设知，BF//CE ，所以 CED （或其补角）为异面直线BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中点，连结EP，PC因为 FE//AP，所以 FA//EP，同理 AB//PC又 FA平面 ABCD ， 所以 EP平面 ABCD 而 PC， AD 都在平面ABCD 内,故 EPPC，EPAD 由 ABAD ， 可得 PC AD 设 FA=a，则 EP=PC=PD= a,CD=DE=EC=a2，故 CED=60 所以异面直线BF 与 DE 所成的角的大小 为 60 （ II ）因为.CEMPMP.CEDMCEM，则连结的中点，所以为且DEDC .CDEAMDCDECE.AMDCEMDMMP平面，所以平面平面而平面，故又（ III ） （ III ）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CDEQDECE.EQPQCDQ .ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角，故，所以 学而不思则惘，思而不学则殆 由（ I）可得，. 2 2 2 6 EQaPQaPQEP，， ，中，于是在 3 3 cosEPQRt EQ PQ EQPw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。
设，1AB依题意得，，，001B，，，011C ，，，020D，，，110E，，，100F. 2 1 1 2 1 M ，， （ I），，，解：101BF，，， 110DEw.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 2 1 22 100 DEBF DEBF DEcos，于是BF 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为 0 60. （ II ），，，由 2 1 1 2 1 AM，，，101CE0AMCE020AD，可得，，， .AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE平面，故又，因此， .CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （ III ） .0D 0 )(CDE Eu CEu zyxu ， ，则，，的法向量为解：设平面w .111 (1 .0 0 ），，，可得令 ， 于是ux zy zx 又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，，v 0013 cos. 3 3 1 uv uv u v 所以， 11.（2009 全国）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形， SD底面ABCD，2AD2DCSD，点 M 在侧棱SC上， ABM=60 （I）证明： M 在侧棱SC的中点 （II ）求二面角SAMB的大小。
【解析】（I）方法一：作MNSD交CD于 N，作NEAB交AB于 E， 学而不思则惘，思而不学则殆 连 ME 、NB，则MN面ABCD，MEAB,2NEAD 设MNx，则NCEBx, 在RTMEB中，60MBE3MEx 在RTMNE中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x，从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M. 12.（2009 福建高考）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形， MDABCD平面，NBABCD平面，且 MD=NB=1 ， E 为 BC 的中点 （ 1）求异面直线NE 与 AM 所成角的余弦值 （ 2）段 AN 上是否存在点S，使得 ES平面 AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在， 请说明理由 . 【解析】（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz 依题意，得 1 (0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1), (,1,0) 2 DAMCBNE 1 (,0,1),( 1,0,1) 2 NEAM 10 cos, 10|| || NE AM NE AM NEAM ， 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为 10 10 . （ 2）假设段AN上存在点S，使得ES平面AMN. (0,1,1)AN,可设(0,, ),ASAN 又 11 (,1,0),(,1, ) 22 EAESEAAS . 由ES平面AMN， 得 0, 0, ES AM ES AN 即 1 0, 2 (1)0. 故 1 2 ，此时 1 12 (0,,),|| 2 22 ASAS. 学而不思则惘，思而不学则殆 经检验，当 2 2 AS时，ES平面AMN. 故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时 2 2 AS. 20XX 年考题 1、 （2008 福建高考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成 角的余弦值为（） A. 6 3 B. 26 5 C. 15 5 D. 10 5 【解析】 选 D.连 11 AC与 11 B D交于 O 点,再连 BO, 。
