2010年考研数学水木艾迪强化班概率讲义.pdf

水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 2009 年暑期数学强化班讲稿（概率统计） 2009 年暑期数学强化班讲稿（概率统计） 内容与题号 题数 内容与题号 题数 第一第一 概率论的基本概念 15+8 第二第二 随机变量及其分布 14+7 第三第三 随机向量及分布 16+12 第四第四 随机变量的数字特征 19+6 第五第五 极限定理 9+1 第六第六 样本与抽样分布 8+3 第七第七 参数估计与检验 14+5 共 95+42第第 1 章章 概率论的基本概念概率论的基本概念 本章内容： 本章内容： 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概 率的基本性质 率的基本性质 古典型概率 几何型概率古典型概率 几何型概率 条件概率 条件概率 概率的基本公式 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 事件的独立性 独立重复试验 要求： 要求： 1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关 系及运算． 系及运算． 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几 何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝 叶斯(Bayes)公式． 叶斯(Bayes)公式． 3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试 验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．验的概念，掌握计算有关事件概率的方法． 一．填空题一．填空题 例例 1.1 某城市居民中订阅 A 报的有 45%，同时订阅 A 报及 B 报的有 10%， 同时订阅 A 报及 C 报的有 8%，同时订阅 A，B，C 报的有 3%，则“只订阅 A 报”的事件发生的概率= 刘坤林 谭泽光 编 1水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 【0.3】 例例 1.2 设随机变量 X,Y 均服从正态分布, 若概率), 0(2σN31)0, 0(=>≤YXP，则)0, 0(()(P ABP B∪>(C) (D) 【C】 ()(P ABP A∪=()(P ABP B∪=刘坤林 谭泽光 编 5水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 第第 2 章章 随机变量及其分布随机变量及其分布 本章内容：本章内容： 随机变量随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布常见随机变量的分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 要求： 要求： 1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联 系的事件的概率．系的事件的概率． 2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－－1 分布、二项分布分布、二项分布 、几、几 何分布、超几何分布、泊松（何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布）分布 及其应用．及其应用． 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数 分布及其应用分布及其应用. 5．会求随机变量函数的分布．．会求随机变量函数的分布． 一．填空题一．填空题 例例 2.1（（240））设随机变量 X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧ ∈∈= ,0]6 , 3[9/2] 1 , 0[3/1)( 其它若若xxxf若k 使得, 则 k 的取值范围是_________. 【 区间 [1, 3]】 3/2)(=≥ kXP例例 2.2（（241））将 3 个球逐个随机放入 4 个分别编号为 1、2、3 和 4 的盒子. 令 X 是“有球盒子的最小号码”，则)3(=XP= , X 的数学期望EX= . 【 7/64; 25/16】 例例 2.3 若随机变量X服从正态分布，且二次方程)0)(,(2>σσµN刘坤林 谭泽光 编 6水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 503 室 042=++Xyy无实根的概率是21，则=µ . 【4】 二．选择题选择题 例例 2.4 （（243）） 设的分布函数和密度函数分别为FiXi (x)和 fi (x), i=1,2. 则下列结论哪些一定成立? (A) F1 (x) + F2 (x) 是分布函数; (B) F1 (x) F2 (x) 是分布函数; (C) f1 (x) +f2 (x) 是密度函数; (D) f1 (x) f2 (x) 是密度函数. 【B】 ?（类似题 243-1）（类似题 243-1）设是的分布函数, i=1,2, 为使是分布函数, 下列给定各组数值中应取 ( ) )(xFiiX)()()(21xbFxaFxF−=(A) . (B) 5/2, 5/3−==ba3/2, 3/2==ba. (C) . (D) 2/3, 2/1=−=ba2/3, 2/1−==ba. 【A】 例例 2.5 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥− (C) 12µµ 【 A 】 三三．解答题解答题 例例 28 已知 100 件产品中有 10 件正品， 每次使用正品时肯定不会发生故障， 而在每次使用非正品时，均有 0.1 的可能性发生故障，现从这 100 件产品中随机 抽取一件，若使用了 n 次均未发生故障，问 n 为多大时，才能有 70%的把握认 为所取得的产品为正品。

【29】 例例 2.9（（247））大批产品，其次品率为 p，采取下列方法抽样检查：抽样直至 抽到一个次品时为止，或一直抽到 10 个产品时就停止检查. 设 X 为停止检查时 抽样的个数. 求 X 的分布列. 【，】 9....,, 2, 1,)(1===−kpqkXPk9109)10(pqXP=+==例例 2.10（（247-1））设为 iid, ~ 0-1 分布（即贝努利分布），参数为 p. 试对固定正整数 k≤ n， 求如下概率： XX,,L1nk)PXiin()==∑1、 及 P( min{n: PXkXinin(,===∑11)}, 2 , 1, 0knXn==≠K.【.C 】 1,,11 1pqppCqpkknkk nknkk n−=−−− −−其中和?（类似题 243-1）（类似题 243-1）某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，求此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率 【 】 ) 10(−=−yIeyFy Y（2）证明对任意的实数，均有0, 0>>ba)()|(bYPaYbaYP≥=≥+≥. 例例2.13 （（248-1）） 设X的pdf为 )( 31)(]8, 1 [32xI xxf=,是X的df . 求的 df . )(xF)(XFY =【】 ) 1, 0(~)(UXFX?（类似题 252）（类似题 252）在单位圆周上随机取一点 D, 求点 D 横坐标 X 的分布函数= )(xFX , 当 |x| − (C) 12µµ 【 A 】 2.（（2008）（）（Poisson 分布与数字特征分布与数字特征）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布， 则 P{}2EXX == . 【21−e】 3.（（2006）（随机变量函数分布，二维分布函数））（随机变量函数分布，二维分布函数）设随机变量X的概率密度为 ( )1, 102 1,024 0,Xxfxx⎧− 0 时 Z=X+Y 的密度函数= )(zfZ 。

【 】 zze−刘坤林 谭泽光 编 11水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场B座503室 ?（类似题（类似题250-1））如果 X、Y 为 iid ~ ，试求 【 U( , )0 1)(zfZ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧−=－λλ ⎪⎩⎪⎨⎧≤ =k kYkY Xk 若若求 (I) X1，X2的联合概率分布. (II) U＝−的分布. (III) X1X2X1，X2的相关系数. 【(I) 0 1 2X1X0 11−− e 0 1 21−−− ee 2−e (II) U 的分布律（分布列）为 III) ⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛ −+−−−−−2121110 eeeeer+=1/1.】 例例3.12（（258））设X与Y的联合概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧λ, c为某个常数） (1) 求常数c，并证明随机变量Y有如下性质：对任意，有 0, >ts )()|(tYPsYstYP>=>+> 【【 (1) c =1, Y ~ Ex(λ). 指数分布有无记忆性】 (2) 求 （3）X与Y是否独立？为什么？ ) 1 |(|xfYX刘坤林 谭泽光 编 15水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场B座503室 【【 (2) (3)不独立， 因为 】 ) 1() 1 |() 1( |>=−−xIexfx YXλλ)()(),(yfxfyxfYX≠?（类似题（类似题258-1）） 设(X,Y)的 pdf 为 )}(exp{),(yxncyxf+−⋅=)+ ===ynyXYneyfy) 1 |(|yfXY例例3.13(258-2) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧（Ⅱ）求YXZ+=的概率密度。

【247；】 ⎪⎩⎪⎨⎧= . 【1/e】 例例4.3(262) 设随机变量X和Y的联合概率分布为 Y X −1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 刘坤林 谭泽光 编 20水木艾迪 www.etsinghua.org ：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场。