第一类曲面积分讲义.ppt

第十章,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类曲面积分,二、第一类曲面积分的概念与性质,一、问题的提出,三、第一类曲面积分的计算,例：设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,,“分割，近似, 求和, 取极限”,的方法,,求质量 M.,其中,  表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、问题的提出,二、第一类曲面积分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,则对面积的曲面积分存在.,在光滑曲面  上连续,,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,• 积分的存在性.,• 线性性质.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,• 对积分域的可加性.,则有,若  是分片光滑的,,例如分成,两片光滑曲面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,• 中值定理.,• 保号性.,关于曲面的轮换对称性：,曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线 x = y = z 对称如果曲面 Σ 有轮换对称性，它的方程 F (x ,y ,z)=0 有如下特征：将 F (x ,y ,z) 中的变量 x ,y ,z 的位置任 意互换，不会改变 F 的表达式。

机动 目录 上页 下页 返回 结束,• 对称性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、如果 曲面 Σ 有轮换对称性，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值 不会改变即,2、如果曲面 Σ关于平面 y= x 对称，则,曲面 Σ关于平面 y= z 或 z=x 对称有类似的性质 定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在  上连续,,存在, 且有,,,三、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,(光滑),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,按照曲面的不同情况分为以下四种情形：,,,,,,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：,由对称性，易知,,（前后两片投影相同）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,,奇函数,,单位圆的面积,例2：,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3：,设,计算,解: 锥面,,与上半球面,的交线为,为上半球面夹于锥面间的部分，,则它在 xoy,面上的投影域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 若此例中被积函数改为,,计算结果如何 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,球面的参数方程为：,四、物理应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5：计算,其中  是球面,由轮换对称性：,解: 显然球心为,半径为,,,利用质心公式,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱面的参数方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7：,设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度,h = 36000 km,,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径 R = 6400 km ),解：,建立坐标系如图,,覆盖曲面  的,半顶角为  ,,利用球面参数方程，则,卫星覆盖面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知, 卫星覆盖了地球,以上的面积,,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P188 例1) .,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、,对称性、质心公式等简化计算。

机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题9-4(P276) 3，5，6， 9，10，11,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,备用题1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z＝1以上部分 ,的面密度,的质量 M .,解:  在 xoy 面上的投影为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设  是四面体,的表面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,依对称性知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,,5、 计算,其中  是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若用直角坐标将曲面分为前后,解1: 利用参数方程计算,(或左右)两片,则计算较繁.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱面的参数方程为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、 计算,其中  是介于平面,之间的圆柱面,则,解2: 微元法，取曲面面积元素,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6、计算,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,若  是球面,被平行平面 z =±h,截出的上下两部分,,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由题设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,设半球面的面密度为,由对称性知：,所求质心坐标为,解:,9、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由轮换对称性：,。