人教A版高中数学必修4第一章三角函数复习学案.doc

第一章 三角函数一、任意角1．广义角 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角．按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．角 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．的 第一象限角{α|k•360＜α＜90+k•360，k∈Z}分 象限角 第二象限角{α|90+k•360＜α＜180+k•360，k∈Z}类 第三象限角{α|180+k•360＜α＜270+k•360，k∈Z} 按终边的位置分 第四象限角{α|270+k•360＜α＜360+k•360，k∈Z} 或{α|－90+k•360＜α＜k•360，k∈Z} 轴上角〔象间角〕：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限．2．终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+ k•360，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．3．几种特殊位置的角：〔1〕终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k•360，k∈Z；〔2〕终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180+ k•360，k∈Z；〔3〕终边在x轴上的角：α= k•180，k∈Z；〔4〕终边在y轴上的角：α=90+ k•180，k∈Z；〔5〕终边在坐标轴上的角：α= k•90，k∈Z；〔6〕终边在y=x上的角：α=45+ k•180， k∈Z；〔7〕终边在y=－x上的角：α= －45+ k•180， k∈Z或α=135+ k•180， k∈Z；〔8〕终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k•45，k∈Z．例1 α为锐角，那么2α是〔　　〕．A．小于180的正角 B．第一象限的角 C．第二象限的角 D．第一或第二象限的角答案：A解析：∵α为锐角，∴0＜α＜90，∴0＜2α＜180，应选A．例2 射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270到达OC位置，那么∠AOC＝〔　　〕．A．150 B．－150 C．390 D．－390答案：B 解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，∴120＋〔－270〕＝－150．例3 如下图，终边落在阴影局部的角的集合是〔　　〕．A．{α|－45≤α≤120} B．{α|120≤α≤315}C．{α|k•360－45≤α≤k•360＋120，k∈Z} D．{α|k•360＋120≤α≤k•360＋315，k∈Z}答案：C解析：由如图所知，终边落在阴影局部的角的取值是k•360－45≤α≤k•360＋120，k∈Z，应选C．二、弧度制1．弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．2．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．3．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为，那么，角α的弧度数的绝对值是．相关公式：〔1〕； 〔2〕．4．角度制与弧度制的换算：〔1〕rad； 〔2〕1rad＝．例1 扇形的一条弦长等于半径，那么这条弦所对的圆心角是〔　　〕弧度．A．π B． C． D．答案：C解析：∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是弧度．例2 在直角坐标系中，假设角α与角β终边关于原点对称，那么必有〔　　〕．A．α＝－β B．α＝－2kπβ〔k∈Z〕 C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β〔k∈Z〕答案：D解析：将α旋转π的奇数倍得β．例3 在半径为3cm的圆中，60的圆心角所对的弧的长度为〔　　〕．A．cm B．πcm C．cm D．cm答案：B解析：由弧长公式得，l＝|α|r＝3＝π〔cm〕．三、三角函数定义1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P〔x，y〕，那么：〔1〕y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；〔2〕x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；〔3〕叫做α的正切，记作tanα，即tanα=〔x≠0〕．3．同角三角函数的根本关系 平方关系： ；．商的关系：当α≠kπ+〔k∈Z〕时，．例1 角α的终边经过点〔－4，3〕，那么cosα＝〔　　〕．A． B． C．－ D．－答案：D解析：由条件知：x＝－4，y＝3，那么r＝5，∴cosα＝＝－．例2假设sinθ•cosθ＜0，那么θ在〔　　〕．A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限答案：D解析：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ，cosθ异号．当sinθ＞0，cosθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，cosθ＞0时，θ在第四象限．例3角α的终边经过点P〔－b，4〕，且sinα＝，那么b等于〔　　〕．A．3 B．－3 C．3 D．5答案：C 解析：r＝|OP|＝，sinα＝＝，∴b＝3．四、三角函数的诱导公式公式一 公式二 公式三 公式四 公式一到四可以概括如下： ，，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号．公式五 公式六 公式五、六可以概括如下：的正弦〔余弦〕函数值，分别等于余弦〔正弦〕函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号〔奇变偶不变，符号看象限〕． 例1 sin600＝〔　　〕．A．－ B． C．－ D．答案：C解析：sin600＝sin〔360＋240〕＝sin240＝sin〔180＋60〕＝－sin60＝－．例2 角θ的终边过点〔4，－3〕，那么cos〔π－θ〕＝〔　　〕．A． B．－ C． D．－答案：B解析：由题意，知cosθ＝＝，∴cos〔π－θ〕＝－cosθ＝－．例3 以下各三角函数值：①sin1125；②tan•sin；③；④sin1－cos1．其中为负值的个数是〔　　〕．A．1 B．2个 C．3个 D．4个答案：B解析：1125＝1080＋45，那么1125是第一象限的角，所以sin1125＞0；因＝2π＋π，那么π是第三象限角，所以tanπ＞0，sinπ＜0，故tanπ•sinπ＜0；因3弧度的角在第二象限，那么sin3＞0．tan3＜0，故＜0；因＜1＜，那么sin1－cos1＞0．∴②③为负数．因此选B．五、三角函数的图像与性质正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx定义域RR值 域[－1，1][－1，1]R零 点周期性T=2πT=2πT=π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间减区间对称性对称轴对称中心图像注意：周期为2π；周期为π；周期为2π；不是周期函数．例1函数y＝sin〔x－〕的一条对称轴可以是直线〔　　〕．A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝答案：B解析：解法一：令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z．当k＝1时，x＝，应选B．解法二：当x＝时，y＝sin〔－〕＝sin＝－1，∴x＝是函数y＝sin〔x－〕的一条对称轴．例2 函数y＝sin2x的单调减区间是〔　　〕．A．〔k∈Z〕 B．〔k∈Z〕C．[π＋2kπ，3π＋2kπ]〔k∈Z〕 D．〔k∈Z〕答案：B解析：由2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z得y＝sin2x的单调减区间是[kπ＋，kπ＋π]〔k∈Z〕．例3 函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]，那么该函数图象与直线y＝交点的个数是〔　　〕．A．0 B．1 C．2 D．3答案：C 解析：分别作出函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]与直线y＝的图象，如以下图所示：由图可知，函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]与直线y＝有两个交点，应选C．例4 函数f〔x〕＝．〔1〕求f〔x〕的定义域、值域和单调区间；〔2〕判断f〔x〕的奇偶性．解：〔1〕要使函数有意义，须sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ＋π，∴kπ＜x＜kπ＋〔k∈Z〕，∴f〔x〕定义域为，k∈Z．∵0＜sin2x≤1，∴0＜sin2x≤，∴≥1，即值域为[1，＋∞〕．令y＝sin2x，那么函数y＝sin2x的增区间即为函数f〔x〕的减区间，函数y＝sin2x的减区间即为函数f〔x〕的增区间．∴函数f〔x〕的单调递减区间为 〔k∈Z〕，单调递增区间为 〔k∈Z〕．〔2〕定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数．六、函数1．得到函数图像的方法：①②2．函数的性质：①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，那么，，．例1 函数y＝5sin的最小正周期是〔　　〕．A．π B．π C．5π D．答案：C解析：T＝＝＝5π．例2 曲线y＝sin〔2x＋〕的一条对称轴是〔　　〕．A．－ B．x＝ C．x＝－ D．x＝答案：D例3 函数y＝sin在区间[0，π]内的一个单调递减区间是〔　　〕．A． B． C． D．答案：B解析：由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ〔k∈Z〕得＋kπ≤x≤＋kπ〔k∈Z〕，∴选B．例4 函数f〔x〕＝2sin〔ωx＋φ〕的图象如下图，那么＝________．答案：0解析：由图象知，T＝，∵＝0，∴。