中考冲刺：代数综合之方程与函数

1、中考冲刺：代数综合之方程与函数1. 判别式一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。（1）当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根。这两点间的距离。 （2）当时，图象与轴只有一个交点；一元二次方程有一个根；（3）当时，图象与轴没有交点；一元二次方程没有根。注意： 区分已知根的情况，求参数的取值范围与已知参数的范围证明根的情况，两种题型解题过程的不同； 函数求交点坐标问题，常用方法为联立解析式，转化为方程求解； 平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为。2. 交点及对称轴之间的关系设抛物线与x轴的交点为和，则对称轴为直线，抛物线任意纵坐标相等的两点都关于对称轴对称，即若有，则对称轴为直线。3. 一元二次方程整数根问题（1）先求出根，再根据整数的特点，确定字母系数的取值。注意：求含参一元二次方程的根，常用公式法，巧用十字相乘法。（2）一元二次方程有整数根时，判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。（3）利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。例题 已知关于x的方程。（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线与x轴交于两个不同的整

2、数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y1=y2，求代数式的值。解析：（1）分别讨论当m=0和m0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则 ，求出两根，再根据抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；（3）点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，求出y1和y2，y1和y2相等，求出，然后整体代入求出代数式的值。答案：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=3。当m0时，原方程为一元二次方程。此时方程有两个实数根。综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根。（2）令y=0，则 。解得。抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，m=1。抛物线的解析式为。（3）点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，。y1=y2，。可得，即。点P，Q不重合，n0。2x1=n4。点拨：本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程与函数之间的联系，第三问需要整体代入。1. 计算认真，尤其是求根公

3、式的应用，一定要注意计算的准确性。2. 熟记对称轴，顶点坐标等多个公式。3. 熟练应用数形结合思想。例题 抛物线，。（1）求证：；（2）抛物线经过点，Q（1，n）。判断mn的符号；若抛物线与x轴的两个交点分别为点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B左侧），请说明。解析：（1）因为2a+3b+6c=0，所以2a+3b=6c，再把通分，利用条件a0，c0，问题可得证；（2）把P，Q两点的坐标分别代入，可得到关于m，n的关系式，再有条件，可判断mn的符号；因为a0，知抛物线开口向上。又因为抛物线与x轴的两个交点分别为点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B左侧），所以把抛物线的示意图画出，利用抛物线的对称性，可证得问题的正确性。答案：（1）证明：2a+3b+6c=0，。 a0，c0，。 （2）解：抛物线经过点，点Q（1，n），。mn0。由a0知，抛物线开口向上。m0，n0，点和点Q（1，n）分别位于x轴下方和x轴上方。点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标x2满足。（如图所示）抛物线的对称轴为直线，由

4、抛物线的对称性可知，由（1）知，即，即。点拨：本题主要考二次函数系数和与x轴的交点问题，把抛物线与坐标轴的交点问题转化为与二元一次方程有关的问题是解答此题的关键，重点是从图象中找出重要信息。（答题时间：30分钟）*1. 已知一元二次方程。（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）设a0，当二次函数的图象与x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；*2. 阅读下列材料：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为x1，x2，则，。解决下列问题：已知：a，b，c均为非零实数，且abc，关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一根为2。（1）填空：4a+2b+c 0，a 0，c 0；（填“”，“”或“=”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程的另一个实数根（用含a，c的代数式表示）；（3）若实数m使代数式的值小于0，问：当x=m+5时，代数式的值是否为正数？写出你的结论，并说明理由。*3. 已知关于x的一元二次方程，a0，b0。（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；（2）若，且2x1x2=2，求a，b的值。*4. 已知关于x的一元二次方程。（1）求证：无

5、论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根。（2）抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，其中a0，将抛物线C1向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线C2。求抛物线C2的解析式。（3）点A（m，n）和B（n，m）都在（2）中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值。*5. 关于x的一元二次方程。（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0。（2）若函数与x轴有且只有一个交点，求m的值。（3）在（2）的条件下，将函数的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G。在x，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，2t），其中t0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值。*6.已知关于x的方程有两个实数根，且m为非负整数。（1）求m的值；（2）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线C2，若抛物线C2过点A（2，b）和点B（4，2b+1），求抛物线C2的表达式；（3）将抛物线C2绕点（n+1，n）旋转180得到抛物线C3，若抛物线C3与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围。*7. 如图，抛物线与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1x2，与y轴

6、交于点C（0，c），且满足。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使POC=PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由。*8. 已知抛物线。（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P（m，n），n0，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦值为，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围。1. 解：（1）证明：=a24（a2）=a24a+8=（a2）2+40，不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根。（2）解：设x1、x2是的两个根，两交点的距离是，。即：（x1x2）2=13，变形为：，x1+x2=-a, x1x2=a-2，整理得：（a5）（a+1）=0，解方程得：a=5或1，又a0，a=1，此二次函数的解析式为。2. 解：（1）把x=2代入原方程得4a+2b+c=0，a，b，c至少有一个为正，abc，a0，当a0，c0时，则b0，所以4a+2b+c0，与4a+2b+c=0矛盾，不合题意；当a0，c0时，所以4a

7、+2b+c可能等于0，a0，c0；故答案为：=，。（2）由题意可知：，解得：另一根；（3）答：当x=m+5时，代数式的值是正数。理由如下：设抛物线，则由题意可知，它经过，B（2，0）点。a0，c0，抛物线开口向上，且，即点A在点B左侧。 设点M的坐标为，点N的坐标为。代数式的值小于0，点M在抛物线上，且点M的纵坐标为负数。点M在x轴下方的抛物线上。（如图），即。，即。以下判断与的大小关系：4a+2b+c=0，ab，a0，。 B，N两点都在抛物线的对称轴的右侧，y随x的增大而增大，即y0。当x=m+5时，代数式的值是正数。 3. 解：（1）关于x的一元二次方程有实数根，有，。a0，b0，a+b0，ab0。ab。（2），设解关于x的一元二次方程，得x=k或3k。当x1=k，x2=3k时，由2x1x2=2得k=2。当x1=3k，x2=k时，由2x1x2=2得（不合题意，舍去）。4. 解：（1）证明：，而a20，a2+160，即0。无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根。（2）当时，y=0，a2+3a=0，即a（a+3）=0，a0，a=3。抛物线C1的解析式为，抛物线C1的顶点为，抛物

8、线C2的顶点为（0，3）。抛物线C2的解析式为y=2x23。（3）点A（m，n）和B（n，m）都在抛物线C2上，A、B两点不重合，即mn，5. 解：（1）解方程，得x1=1，x1=3m+2，x1=10 无论m为何值时，方程总有一个根大于0； （2）若函数与x轴有且只有一个交点，（3）当时，函数，依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：，可得，与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，9）。设直线PQ的解析式为，由P（t，0），Q（0，2t）。直线PQ的解析式为，当线段PQ与函数图象相切时，, 。当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9，。综上：当或时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点。6. 解：（1）方程有两个实数根，m0且0，则有且m0m1且m0又m为非负整数，m=1。 （2）抛物线C1：y=x2平移后，得到抛物线，抛物线C2过点A（2，b），b=（2a）2+b，可得a=2，同理：2b+1=（4a）2+b，可得b=3，。（3）将抛物线绕点（n+1，n）旋转180后得到的抛物线C3顶点为（2n，2n3），把x=2n代入直线得，由题意得，即：n4。7. 解（1）依题意：，即m2m6=0，解得m1=2，m2=3，c=m10，m=3不合题意 m=2抛物线的解析式是；（2）能如图，设p是抛物线上的一点，连结PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D。若POC=PCO 则PD应是线段OC的垂直平分线C的坐标为（0，3） D的坐标为 P的纵坐标应是令，解得，因此所求点P的坐标是。8. 解：（1）证明：当y=0时，得，即。，。无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点。（2）解：如图，过点P作PAx轴于A，则OAP=90，OA=2，n0，P在抛物线上，抛物线的解析式为；（3）解：当y=0时，抛物线与x轴相交于点

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