2015高考数学(苏教版-文)一轮配套文档:第8篇第4讲直线、平面垂直的判定与性质
26页1、第4讲直线、平面垂直的判定与性质知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)定义:若直线l与平面内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面垂直(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面即:a,b,la,lb,abPl.(3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行即:a,bab.2平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直即:a,a.(3)性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面即:,a,b,aba.3直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角的范围:.辨 析 感 悟1对线面垂直的理解(1)直线a,b,c;若ab,bc,则ac.()(2)直线l与平面内无数条直线都垂直,则l.()(3)(2013浙江卷,4C)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,若mn,m,则n.()(4)(2013广东卷,8D)设l为直线
2、,是两个不同的平面,若,l,则l.()2对面面垂直的理解(5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则.()感悟提升三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还有可能异面、相交等,如(1);二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理,不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,就垂直于这个平面”, 如(2);三是注意对平面与平面垂直性质的理解,如(5)考点一直线与平面垂直的判定和性质【例1】 如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC60,PAABBC,E是PC的中点证明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.ACCD,PAACA,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.(2)由PAABBC,ABC60,可得ACPA.E是PC的中点,AEPC.由(1),知AECD,且PCCDC,AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PAAB.又ABAD且PAADA,
3、AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD.又ABAEA,PD平面ABE.规律方法 证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013江西卷改编)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABCD,ADAB,AB2,AD,AA13,E为CD上一点,DE1,EC3.证明:BE平面BB1C1C.证明过B作CD的垂线交CD于F,则BFAD,EFABDE1,FC2.在RtBEF中,BE.在RtCFB中,BC.在BEC中,因为BE2BC29EC2,故BEBC.由BB1平面ABCD,得BEBB1,又BB1BCB,所以BE平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014深圳一模)如图,在三棱柱ABCA1B
4、1C1中,AA1平面ABC,ABBCAA1,且ACBC,点D是AB的中点证明:平面ABC1平面B1CD.证明ABCA1B1C1是棱柱,且ABBCAA1BB1,四边形BCC1B1是菱形,B1CBC1.由AA1平面ABC,AA1BB1,得BB1平面ABC.AB平面ABC,BB1AB,又ABBC,且ACBC,ABBC,而BB1BCB,BB1,BC平面BCC1B1,AB平面BCC1B1,而B1C平面BCC1B1,ABB1C,而ABBC1B,AB,BC1平面ABC1.B1C平面ABC1,而B1C平面B1CD,平面ABC1平面B1CD.规律方法 证明两个平面垂直,首先要考虑直线与平面的垂直,也可简单地记为“证面面垂直,找线面垂直”,是化归思想的体现,这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似,这种转化方法是本讲内容的显著特征,掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键【训练2】 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD1,AA12,M是棱CC1的中点证明:平面ABM平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1,又BM平面BCC1B1,所以A1B1BM.又CC12,M为
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