《初等数论》习题集相关章及内部小节知识归纳
8页1、初等数论习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。2. 证明:若m - pmn + pq,则m - pmq + np。3. 证明:任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的数字和能被11整除。4. 设p是n的最小素约数,n = pn1,n1 1,证明:若p ,则n1是素数。5. 证明:存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为a2 + p(a 0是整数,p为素数)的形式。第 2 节1. 证明:12n4 + 2n3 + 11n2 + 10n,nZ。2. 设3a2 + b2,证明:3a且3b。3. 设n,k是正整数,证明:nk与nk + 4的个位数字相同。4. 证明:对于任何整数n,m,等式n2 + (n + 1)2 = m2 + 2不可能成立。5. 设a是自然数,问a4 - 3a2 + 9是素数还是合数?6. 证明:对于任意给定的n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n整除。第 3 节1. 证明定理1中的结论()()。2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。3. 证明定理4的推论1和推论3。4. 设x,yZ,172x + 3y,证明:179x + 5y
2、。5. 设a,b,cN,c无平方因子,a2b2c,证明:ab。6. 设n是正整数,求的最大公约数。第 4 节1. 证明定理1。2. 证明定理3的推论。3. 设a,b是正整数,证明:(a + b)a, b = ab, a + b。4. 求正整数a,b,使得a + b = 120,(a, b) = 24,a, b = 144。5. 设a,b,c是正整数,证明:。 6. 设k是正奇数,证明:1 + 2 + L + 91k + 2k + L + 9k。第 5 节1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。2. 用辗转相除法求整数x,y,使得1387x - 162y = (1387, 162)。3. 计算:(27090, 21672, 11352)。4. 使用引理1中的记号,证明:(Fn + 1, Fn) = 1。5. 若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?6. 记Mn = 2n - 1,证明:对于正整数a,b,有(Ma, Mb) = M(a, b)。第 6 节1. 证明定理1的推论1。2. 证明定理1的推论2。3
3、. 写出22345680的标准分解式。4. 证明:在1, 2, L, 2n中任取n + 1数,其中至少有一个能被另一个整除。5. 证明:(n 2)不是整数。6. 设a,b是正整数,证明:存在a1,a2,b1,b2,使得a = a1a2,b = b1b2,(a2, b2) = 1,并且a, b = a2b2。第 7 节1. 证明定理1。2. 求使12347!被35k整除的最大的k值。3. 设n是正整数,x是实数,证明:= n。4. 设n是正整数,求方程x2 - x2 = (x - x)2在1, n中的解的个数。5. 证明:方程f(x) = x + 2x + 22x + 23x + 24x + 25x = 12345没有实数解。6. 证明:在n!的标准分解式中,2的指数h = n - k,其中k是n的二进制表示的位数码之和。第 8 节1. 证明:若2n + 1是素数,则n是2的乘幂。2. 证明:若2n - 1是素数,则n是素数。3. 证明:形如6n + 5的素数有无限多个。4. 设d 是正整数,6d,证明:在以d为公差的等差数列中,连续三项都是素数的情况最多发生一次。5. 证明:对于任意给
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