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2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(附答案).doc

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1、2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(附答案) 2015年4月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知全集，则是（）A. B.C. D.2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度是，则扇形的周长为（）A. B. C. D.3. 函数的值域是（）A. B. C. D.4设记，若，则（）A B. C. D.5化简（）A. B. C. D.6.已知与均为单位向量，其夹角为.若，则的取值范围为（）A. B. C. D. 7设，以下三个数的大小关系是（）A. B. C. D.8若对任意的实数，有成立，则有（）A. B. C. D.9方程的实根个数是（）A. B. C. D.10设方程的三个实根是、.则代数式的值为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数的定义域为 . 12.若，则 . 13. 不等式的解集是 .14.已知是偶函数，且在区间上是增函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 . 15. 定义区间的长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度值为 . 16.若的重心为，动点满足（），则点的轨迹所覆盖的平面区域的

2、面积等于 . 17.已知函数，若对任意恒成立，则的取值集合 .三、解答题：本大题共3小题，共51分18. （本题满分15分）已知函数的最小正周期为（）求函数的单调递增区间；（）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像.若在上至少有个零点，求的最小值.19. （本题满分18分）已知为坐标原点，.（I）当时，求的取值范围；（II）若，记，当取遍一切实数时，求的最小值.20. （本题满分18分）已知函数，.（I）当时，对任意实数均有，求函数的解析式；（II）若对任意实数成立，求证：.2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题 2015年4月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知全集，则是（ C ）A. B.C. D.解析：，则=，故答案选. 2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度是，则扇形的周长为（ A ）A. B. C. D.解析：设扇形的半径为弧长为.由题意：，解得，所以扇形的周长为，故答案选.3.函数的值域是（ B ）A. B. C. D.解析：函数是在上的奇函数，只需考虑当时函数的取值范围，当时，所以函数的值域为，答案选4设记，若，则（ D

3、）A B. C. D.解析：，依次类推可知：所以，故答案选5 化简（ D ）A. B. C. D.解析：先考虑分母：，所以原式等于6.已知与均为单位向量，其夹角为.若，则的取值范围为（ C ）A. B. C. D. 解析：，两边平方可得：，因为与均为单位向量，则，又因为，则，答案选.7设，以下三个数的大小关系是（ A ）A. B. C. D.解析：法一：取特殊值，则，则，答案选.法二：当时，此时与都属于区间，易知，则.8若对任意的实数，有成立，则有（ B ）A. B. C. D.解析：因为，则，构造函数是单调递增函数，则，所以，答案选9方程的实根个数是（ B ）A. B. C. D.解析：考虑函数和函数的图像可知有个交点，所以方程的实根个数是个.10设方程的三个实根是、.则代数式的值为（D）A. B. C. D.解析：利用三倍角公式得到方程：的三个根是、，再化为三角求值，答案为.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数的定义域为_.解析：则函数的定义域为.12. 若，则 . 解析：设，则，所以，，所以，故.13.不等式的解集是_.解析：观察可知是方程的一个根，则

4、，所以，所以原不等式的解集为.14.已知是偶函数，且在区间上是增函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是_.解析：是偶函数，则，又在区间上是增函数，则，由数形集合可知只需：，解得.15. 定义区间的长度为，已知函数的定义域与值域都是，则区间的最大长度值为 .解析：由题意知：函数的定义域为，是函数的定义域的子集，所以或，而在区间上单调递增，则即时方程的两个根，即是方程的同号的相异实根，解得：或而，当时，的最大值为.16.若的重心为，动点满足（），则点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于_.解析：极端值方法：令，则，则点位于平行四边形内（如图所示），同理可得另外两种情况，则点的轨迹所覆盖的平面区域的面积是的面积的两倍，令，则，由勾股定理：可求得：则,所以17. 已知函数，若对任意恒成立，则的取值集合 .三、解答题：本大题共3小题，共51分18. （本题满分15分）已知函数的最小正周期为（）求函数的单调递增区间；（）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像.若在上至少有个零点，求的最小值.解：（） 3分函数的最小正周期为，则，则， 5分所以，令， 6分解得，则函数的单调递增

5、区间为 8分（）由题意：，令，得或 11分所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上至少有个零点，即应该大于等于第个零点的横坐标， 13分则 15分19. （本题满分18分）已知为坐标原点，.（I）当时，求的取值范围；（II）若，记，当取遍一切实数时，求的最小值. 解：（）由题意：， 1分则 3分令，对称轴 4分则， 6分由对称轴易知：，所以， 8分故.10分（II）对于某个固定的，的最大值显然可以趋向，实际上就是当为的外心时，此时取最小值，因为当不是外心时，至少有一个会变大，这样就变大， 12分外心坐标为， 14分要使最小，需要，解得， 17分故的最小值为 18分20. （本题满分18分）已知函数，.（I）当时，对任意实数均有，求函数的解析式；（II）若对任意实数成立，求证：.解：（）设方程的两个实根分别为和则由条件可知：，从而，由韦达定理知：，故函数的解析式为： 6分（II）若，则，此时式子转化为，即对任意恒成立，易知，故要证明的不等式显然成立. 8分当时，恒成立，因此.进一步，我们不妨设，则，可以知道.记，下面分两种情况：（）若，则由可以得到：对任意恒成立即：及对任意同时恒成立.所以及同时成立，两个式子相加可以得到：，则，即要证明的不等式成立. 14分（）若，则，且.在已知条件中取，则可以得到：，由可以知道：. 18分

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