高考试题的探究(一):复合函数的单调性9.26修改后
8页1、复合函数的单调性的求解策略我们知道,在复合函数中,若内层函数在区间上具有单调性,当时,且外层函数在区间上也具有单调性,则复合函数在区间上一定是单调函数其规律为:同增同减复合增,增减相异复合减简而言之“同为增,异为减”.函数的单调性是高考的重点和热点内容之一,其中复合函数的单调性是高中数学的一个难点. 如何求解复合函数的单调性呢?一、外层函数与内层函数均为一种单调性的复合型【例1】函数在上单调递减,则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【解析】(1)函数的定义域须满足:;(2)还原复合函数的复合过程:此函数是由函数复合所得;(3)内层函数的单调区间:因,函数在上单调递减,且;(4)外层函数的单调区间:当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增;(5)因为函数在上单调递减,而函数在上单调递减,根据复合函数的单调性规律,可知:,且.故答案为B.【评注】研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则,不能忽视在恒成立.【变式1-1】函数在上单调递增,则的取值范围是(A) (B) (C) (D)【变式1-2】(2010重庆)函数的值域是(A) (B) (C) (D)二、外层函数只有一种
2、单调性,内层函数有多种单调性的复合型【例2】求函数的单调区间【解析】(1)函数的定义域:;(2)还原复合函数的复合过程:此函数是由函数复合所得;(3)内层函数的单调区间:函数在单调递减,单调递增;(4)外层函数的单调区间:函数在上单调递减;(5)根据复合函数的单调性规律,写出复合函数的单调区间:复合函数在单调递增,单调递减【评注】探求此类复合函数的单调性的五环节:(1)确定定义域,函数的单调区间必须是函数定义域的子区间;(2)还原复合函数的复合过程;(3)确定内层函数的单调区间;(4)确定外层函数的单调区间;(5)根据复合函数的单调性规律,给出复合函数的单调区间.在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以,但,若单调区间端点在定义域之中,最好用“闭”,否则,用“开”【变式2-1】(2013福建)函数的图象大致是 A BCD【变式2-2】(2014天津)函数的单调递增区间是 (A) (B) (C) (D)【例3】函数的单调区间是 .【解析】(1)此函数的定义域:;(2)此函数是由函数复合所得;(3)内层函数的单调区间:函数在单调递减,单调递增,单调递减,单调递增;(4)外层函数的单调区间
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