高考试题的探究（一）：复合函数的单调性9.26修改后

复合函数的单调性的求解策略我们知道，在复合函数中，若内层函数在区间上具有单调性，当时，且外层函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间上一定是单调函数其规律为：同增同减复合增，增减相异复合减简而言之“同为增，异为减”.函数的单调性是高考的重点和热点内容之一,其中复合函数的单调性是高中数学的一个难点. 如何求解复合函数的单调性呢？一、外层函数与内层函数均为一种单调性的复合型【例1】函数在上单调递减，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【解析】（1）函数的定义域须满足：；（2）还原复合函数的复合过程：此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：因，函数在上单调递减，且；（4）外层函数的单调区间：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；（5）因为函数在上单调递减，而函数在上单调递减，根据复合函数的单调性规律，可知：，且.故答案为B.【评注】研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视在恒成立.【变式1-1】函数在上单调递增，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）【变式1-2】（2010重庆）函数的值域是（A） （B） （C） （D）二、外层函数只有一种单调性，内层函数有多种单调性的复合型【例2】求函数的单调区间【解析】（1）函数的定义域：；（2）还原复合函数的复合过程：此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；（4）外层函数的单调区间：函数在上单调递减；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：复合函数在单调递增，单调递减【评注】探求此类复合函数的单调性的五环节：（1）确定定义域，函数的单调区间必须是函数定义域的子区间；（2）还原复合函数的复合过程；（3）确定内层函数的单调区间；（4）确定外层函数的单调区间；（5）根据复合函数的单调性规律，给出复合函数的单调区间.在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，但，若单调区间端点在定义域之中，最好用“闭”，否则，用“开”【变式2-1】（2013福建）函数的图象大致是 A BCD【变式2-2】（2014天津）函数的单调递增区间是 （A） （B） （C） （D）【例3】函数的单调区间是 .【解析】（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增；（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减；（5）根据复合函数的单调性规律，复合函数的单调区间：函数在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减【评注】函数既在单调递增，又在单调递增，但是，不能说函数在单调递增【变式2-3】函数在上是增函数，求的取值范围三、外层函数有多种单调性，内层函数只有一种单调性的复合型【例4】求函数的单调区间【解析】（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减；（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减【评注】给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围.【变式3-1】函数的单调递减区间是 ；单调递减区间是 .【变式3-2】函数的单调递增区间是（A） （B） （C） （D）四、外层函数与内层函数都有多种单调性的复合型【例5】已知函数则的递增区间是 .【解析】（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减，在单调递增；（4）外层函数的单调区间：在单调递减，在单调递增，（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增.答案：，.【变式4-1】已知函数则（A）在区间上是减函数 （B）在区间上是减函数（C）在区间上是增函数 （D）在区间上是增函数【例6】函数的单调性判断错误的是（A）在单调递减 （B）在单调递增 （C）在单调递减 （D）在单调递增解析：（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）子函数的单调区间：函数在单调递增，在单调递减；（4）母函数的单调区间：函数在单调递减，此时；在单调递增，此时（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，在 单调递增.故答案为B.【变式4-2】（2014年全国理科卷）若函数在区间是减函数，则的取值范围是_【变式4-3】函数的单调递增区间是 .变式训练答案：【变式1-1】答案： A. 提示：因为，所以内函数单调递减，又因为复合函数在上单调递增，所以外函数单调递减，则，解得：.【变式1-2】答案：C.提示：根据复合函数的单调性规律知：函数单调递减，因为定义域为，所以的值域为. 【变式2-1】答案：A. 提示：函数是偶函数，且当时，复合函数单调递增. 【变式2-2】答案：D. 提示：函数的定义域为，内层函数在单调递减，在单调递增，外层函数单调递减，所以函数的单调递增区间是. 【变式2-3】答案： 提示：，； 因为增，由函数在上是增函数，则函数也必是增函数，即在上恒成立，只要；又，综上，的取值范围为【变式3-1】答案：. 提示：函数分解出外层函数，内层函数；因为内层函数在上单调递增，外层函数在单调递减，在单调递增【变式3-2】答案：C. 提示：函数分解为因为内层函数单调递减，所以复合函数的单调递增区间就是外层函数的单调递减区间，即，故函数的单调递增区间为 【变式4-1】答案：A.提示：函数分解为外层函数，内层函数；因为内层函数在单调递增，在单调递减，而外层函数在单调递增，此时；在单调递减，此时，故复合函数在单调递增，在单调递减，在单调递增，在单调递减【变式4-2】答案：.提示：，令，由，得，所以函数是由与复合而成的复合函数，因为在上单调递增，由复合函数单调性的判断方法“同增异减”知，要使在区间是减函数，必有在上为减函数. 因为曲线的对称轴为直线且开口向下，所以，即，所以实数的取值范围是.【变式4-3】答案为.提示：函数是由函数复合所得；函数在单调递增，在单调递减，且；函数在单调递减，在单调递增，所以，函数在在单调递增，在单调递减.8