《理论力学二》ppt课件
91页1、理论力学(二),哈密顿力学 2011.10,拉格朗日方程的降阶,拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描述系统的。通过拉格朗日方程,可以得到二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的各个分量的分析,得到运动的加速度满足的方程具有类似的形式。 可以用广义速度为中间变量vi,把二阶微分方程变为一阶微分方程,代价是变量个数加倍。,广义动量作为中间变量,这2s个方程中,计算 qi 的时间微商太简单,而计算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。从拉格朗日方程看,直接可以计算广义动量 pi ,因而把它取为中间变量是合适的。 但是,拉格朗日函数中,自变量含有广义速度,而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义动量来表达。 哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函数来描述力学体系,使所得方程更加简单易解:,勒让德变换,系统函数以谁为自变量,则它的全微分就写成这些变量的微分之线性组合,系数就是该自变量的共轭变量,也即系统函数对该自变量的偏微分。 勒让德变换可以将系统函数的某个自变量(如下例的x)换为它的共轭变量(u),同时,系统函数也有相应变化。例如:,拉格朗日函数变换为哈密顿函数,拉格朗日函数
2、为系统函数时,广义速度和广义动量是共轭坐标。 如果想以 pi 为自变量,则进行勒让德变换:,哈密顿函数,定义哈密顿函数H(p,q,t),数值上等于广义能量积分,但必须以广义动量为自变量。 则对应有:,哈密顿正则方程,得到哈密顿正则方程(共2s个): 方程给出了2s个变量随时间的变化率,可一步步积分求出以后各个时刻的值。其中前s个给出广义速度和广义动量之间的关系,后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。 p 和 q 称为正则共轭变量,正则方程具有对称形式。,哈密顿正则方程中的循环坐标,从对应关系 得知,如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标,即存在某循环坐标,则哈密顿函数也不显含它,对应的广义动量守恒,因而可以将系统的自由度减少一维(可遗坐标) 2s个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中不显含,它对应的正则共轭变量就是常数,系统的自由度就可以减少一维(可遗)。 如果拉格朗日函数不显含时间,则哈密顿函数也不显含时间,广义能量积分或哈密顿量守恒。,哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较,拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后,从拉格朗日函数经过变换得到。 拉格朗日方程是
3、二阶的微分方程,而哈密顿方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增大了一倍。 对于循环坐标,哈密顿正则方程处理起来方便很多,无论哈密顿函数缺少任意一个q,p,t,都可以找到它相应的守恒量。 拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的。,劳斯函数,经过对比得知,哈密顿正则方程擅长对循环坐标处理,而拉格朗日方程对普通坐标处理较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换,使其处理用哈密顿正则方程,而对其余则不做变换,所得的为劳斯函数。设q1qm是循环坐标,其余不是,则劳斯函数为,劳斯方程,同时, 对应可得,哈密顿函数及正则方程举例,弹簧谐振子问题。 相对论带电粒子。,哈密顿正则方程举例,平方反比有心力场中的运动 不能因为pq是恒量而直接替去L中的 ,而是应该用劳斯函数,其中pq才能当常数处理。,作业:3.1, 3.2, 3.3,第15次课,哈密顿正则方程解题步骤,用哈密顿正则方程解题的步骤大致有 确定系统的自由度,选取广义坐标。 写出系统的拉格朗日函数。 计算广义动量,并用广义动量来表示广义速度。 通过勒让德变换计算哈密顿函数H。得到的H表达式中的广义速度用广义动量替换。 列出哈密顿正则方程。 求解方程,
4、得到广义坐标随时间的变化关系。并结合初始条件确定积分常数。,哈密顿正则方程举例,相对论粒子在电磁场中运动(习题3.5),由哈密顿原理推导哈密顿正则方程,由哈密顿原理出发,将p,q都看成是独立变量,变分之后能得到哈密顿正则方程。,正则变换,通过对拉格朗日函数做勒让德变换,以广义动量为自变量替换了广义速度,得到哈密顿正则方程。进一步,考虑用一组新的自变量 Qi(q,p,t),Pi(q,p,t) 和新的系统函数 K(Q,P,t) 和方程来描述力学体系的演化,有可能使得方程求解更加简便。 如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程,则从q,p,H到Q,P,K的变换为正则变换。,正则变换的等价条件,如果到Q,P,K的变换为正则变换,则有 反之,将Q,P视为独立变量,也可以得到正则方程,因而是正则变换。 进一步,如果有 (其中 f 是任意函数),则显然也能满足积分的变分为0的条件,也即能判断是正则变换。这是因为真实运动过程的作用量最小,无论用新旧变量描述,只相差一个全微分。,正则变换的生成函数,虽然 f 任意,按照其全微分应该写为各个变量微分的线性组合的原则,这里 f 称为生成函数,它的自变量应该是
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