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概率论与数理统计多维随机变量及其分布1

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常见问题

1、第三章多维随机变量及其分布, 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,1 二维随机变量,二维随机变量联合分布函数联合分布律联合概率密度,第三章多维随机变量及其分布,1）定义：设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),一、二维随机变量,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,注意事项,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,2）二维随机变量的例子,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,二、联合分布函数,1 二维随机变量,1）定义,第三章多维随机变量及其分布,2）二元分布函数的几何意义,y,o,(x, y),(X, Y ),1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,3）一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x

2、1 , y1),1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,4）分布函数具有以下的基本性质：,（1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，,对于任意固定的 y ,且,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，,对于任意固定的 x ,（3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,说明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,5）n 维随机变量,1 二维随机变量,第三

3、章多维随机变量及其分布,6）n维随机变量的分布函数,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,三、二维离散型随机变量,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1）定义：,2）二维离散型随机变量的联合分布律,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,3)二维离散型随机变量联合分布律的性质,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,例 3,解：,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,例 4,解：,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1）定义：对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,四、二维连续型随机变量

4、,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,2) 概率密度的性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内的概率为：,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,这个公式非常重要！,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面z = f (x , y)为顶的柱体体积.,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,例 5,解：,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,x+y=1,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,3）二维均匀分布,D,x,y,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,二维均匀分布几何意义,D,y,x,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,4）二维正态分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,第三章多维随机变量及其分布,小结：1 二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2 联合分布函数的定义及性质。3 二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性质，特别是,4 二维均匀分布和二维正态分布。,

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